| @@ -6,7 +6,6 @@
% Encoding
\usepackage{fontspec}
\usepackage{polyglossia}
\setdefaultlanguage{russian}
\setotherlanguages{english}
@@ -22,7 +21,8 @@
\usepackage{tikz-cd}
\usepackage{comment}
\usepackage{fancyhdr,imakeidx,needspace} % fancy headers, indices
+\usepackage{multicol,hyperref,cleveref,todonotes} %better columns,
+\usepackage[inline]{enumitem} % better enumerations
\usepackage[datesep={.}]{datetime2}
\DTMsetdatestyle{ddmmyyyy}
%\renewcommand{\dateseparator}{.}
@@ -1461,19 +1461,58 @@ $G$ действует на $(\Z G)^{\otimes n+1}$ по
$G$~-- конечная группа, $|G|=m$, тогда $m\cdot H^n(G,A)=m\cdot
\end{thm}
\begin{proof}
+ Рассмотрим $\phi_n\colon\Barr_n\to\Barr_{n+1}\colon[a_1,\ldots
\begin{multline*}
$$
+ (d_n\phi_n+\phi_{n-1}d_{n-1})([a_1,\ldots,a_n])=d_n\left(\sum_
\phi_{n-1}\left([a_2,\ldots,a_n]+\sum_{i=1}^{n-1}(-1)^i[a_1,\l
$$
\end{multline*}
+ \vspace*{-4.5em}\begin{multline*}
+ $$
+ m[a_1,\ldots,a_n]+\\\underline{\color{applegreen}\sum_{g\in G}
+ \left(\underline{\color{applegreen}\sum_{g\in G}[g,a_2,\ldots,
$$
\end{multline*}
+ Части, подчёркнутые один и два раза в последней строке, отлича
+
+ Получается, что умножение на $m$ гомотопно нулевому отображени
\end{proof}
+\subsection{Расширения групп}
+\begin{Def}
+ Расширение группы $G$ с помощью $A$~--- короткая точная послед
+ Два расширения $A\hookrightarrow E\twoheadrightarrow G$ и $A\h
+\end{Def}
+Мы хотим описывать расширения $G$ c помощью $A$. Пока что рассмотр
+
+Итак, задача разбивается на две: \begin{enumerate*}\item описать в
+
+Итак, нам даны группы $A,G$ и действие $G$ на $A$ $\cdot\colon A\t
+\begin{Def}
+ Расширение $A\overset{\alpha}{\hookrightarrow}E\overset{\beta}
+\end{Def}
+\begin{stmt}
+ Расширение расщепляется тогда и только тогда, когда оно изомор
+\end{stmt}
+
+Теперь рассматриваем случай, когда гомоморфизма $\sigma$ нет. Тем
+
+Любой элемент $E$ можно представить в виде $\sigma(g)\alpha(x)$:\[
+$(\sigma\beta(e))^{-1}e\in\im\alpha$: применим $\beta$, получим $\
+
+$E\cong G\times A$ как множество. Хотим понять, как устроено умнож
+\[
+\sigma(g)\alpha(x)\sigma(h)\alpha(y)=\sigma(g)\sigma(h)\underbrace
+\]
+$\beta(\sigma(gh)^{-1}\sigma(g)\sigma(h))=1_G\Rightarrow\sigma(gh)
+\[(g,x)*(h,y)=(gh,f(g,h)+x\cdot h+y)\text{.}\]
+Чтобы это было групповой операцией, нужно проверить ассоциативност
+\[
+((g,0)*(h,0))*(t,0)=(gh,f(g,h))*(t,0)=(ght,f(g,h)\cdot t+f(gh,t))
+\]
+\[
+(g,0)*((h,0)*(t,0))=(g,0)*(ht,f(h,t))=(ght,f(g,ht)+f(h,t))
+\]
+То есть $*$ определяет группу тогда и только тогда, когда для $f$
\printindex\thispagestyle{fancyplain}\addcontentsline{toc}{section
\end{document}
\ No newline at end of file |