| @@ -1,18 +1,31 @@
+% !TeX program = lualatex
% !TeX encoding = UTF-8
% !TeX spellcheck = ru_RU
% !TeX root = notes.tex
\documentclass[utf8,a4paper,12pt,oneside]{article}
+% Encoding
+\usepackage{fontspec}
+\usepackage{polyglossia}
+\usepackage{csquotes}
+\setdefaultlanguage{russian}
+\setotherlanguages{english}
+
+\usepackage{fontspec}
+\setmainfont{CMU Serif}
+\setsansfont{CMU Sans Serif}
+\setmonofont{CMU Typewriter Text}
+%\usepackage{cmap} % make output searchable and copyable
+%\usepackage[utf8]{inputenc}
+%\usepackage[russian]{babel}
\usepackage[]{amsmath,amssymb,textcomp,amsthm,mathtools,yhmath}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{tikz-cd}
\usepackage{comment}
\usepackage{fancyhdr,imakeidx,needspace} % fancy headers, indices
\usepackage{multicol,enumitem,hyperref,cleveref,todonotes} %better
+\usepackage[datesep={.}]{datetime2}
+\DTMsetdatestyle{ddmmyyyy}
+%\renewcommand{\dateseparator}{.}
%\usepackage[left=1.75cm,right=1.25cm,top=1cm,bottom=3cm,bindingof
\usepackage[top=2.5cm, left=3.5cm, right=2cm, bottom=3.0cm,marginp
@@ -96,7 +109,7 @@
\pagestyle{fancyplain}
\fancyhf{}
\fancyhead[R]{\thepage}
+\fancyhead[L]{\scshape\nouppercase\leftmark}
\renewcommand{\headrulewidth}{2pt}
%index
@@ -340,10 +353,10 @@ Cтрелка по построению получается единствен
\setlength{\multicolsep}{\mcsepold}
\end{proof}
\section*{Практика 1: функтор $\Tor$}
+\addcontentsline{toc}{subsection}{\bfseries Практика 1: функтор $\
{\itshape Волчара решил, что давать на праках часть определений из
+На этой практике нужно знать, что такое функтор $\Tor$ (c.~\pagere
Во всех задачах $R,S$~-- кольца. Все модули левые, если не указано
@@ -610,7 +623,7 @@ Cтрелка по построению получается единствен
По пункту~\ref{derfunct_prop_middle} $T_1P=0$, поэтому $T_1X=\
\end{proof}
\section*{Практика 2: плоские конечно представимые модули}
+\addcontentsline{toc}{subsection}{\bfseries Практика 2: плоские ко
Для решения задач из этой практики нужно знать, что такое инъектив
\begin{fact}[\hypertarget{projinjdef}{Другой критерий проективност
$R$-модуль $X$ проективный тогда и только тогда, когда для люб
@@ -787,7 +800,7 @@ $\ker((1)\colon C_i\to\im d_{i-1})=\ker d_{i-1}
$\Q$ над $\Z$ плоский, но не проективный.
\section*{Практика 3: гомологические размерности}
+\addcontentsline{toc}{subsection}{\bfseries Практика 3: гомологиче
Для решения задач из этой практики нужно знать про инъективные мод
Во всех задачах $R$~-- кольцо. Все модули левые; если не указано,
@@ -830,8 +843,8 @@ $\Q$ над $\Z$ плоский, но не проективный.
\item $\sup\{n\,|\,\exists X,Y\text{ такие, что }\Tor_n^R(
\end{itemize}
Это число называется {\bfseries\itshape $\Tor$-размерностью $R
+ \item*\label{tordim_fdim} Докажите, что $$\Tordim(R)=\sup\{\fd
+ \item\label{gldim_fdim} Докажите, что $$\gldim(R)=\sup\{\pd_R(
\begin{proof}[Решение]\let\qed\relax
Совсем понятно, что $\pd_R(M)\le\gldim(R)$ для конечно пор
\[\gldim(R)=\sup\{\sup\{n\,|\,\exists I\colon\Ext^n_R(R/I,
@@ -875,7 +888,7 @@ $\coker f$ и будет копределом $A$.
Рассмотрим функторы $A,B,C\colon\mathcal{I}\to\mathrm{Mod\mdash}R$
\begin{equation}\label{elementsinfilteredcolimit_ses}
+\begin{tikzcd}[cramped,sep=scriptsize]
A_i\ar{d}{A\phi}\ar[hook]{r}{\alpha_i} & B_i\ar{d}{B\phi}\ar[t
A_j\ar[hook]{r}{\alpha_j} & B_j\ar[two heads]{r}{\beta_j} & C_
\end{tikzcd}
@@ -991,7 +1004,7 @@ $\coker f$ и будет копределом $A$.
& \cdots\ar{r} & P_1^k\ar{rr} & & P_0^k\ar[two heads]{rr}{\var
\end{tikzcd}
\]
+ была коммутативной\marginpar{\vspace{-5em}\tiny конструкция ре
\[P_0^i\defeq\langle A_i\rangle_R\]
$\varepsilon_i$ отправляет элемент базиса, соответствующий $a\
\begin{multicols}{2}
@@ -1023,7 +1036,7 @@ $\coker f$ и будет копределом $A$.
$X\hookrightarrow Y$~-- мономорфизм, $A\colon\mathcal{I}\to R\
Тогда $X\otimes_R A_i\hookrightarrow Y\otimes_R A_i$~-- мономо
+ Так как $\colim$ точен $\colim (X\otimes_R A_i)\hookrightarrow
\end{proof}
\begin{corollary*}\label{torpreservesfilteredcolimits}
$\Tor_n^R(\colim A,B)\cong\colim\Tor_n^R(A_i,B)$.
@@ -1076,7 +1089,7 @@ $\forall f\colon X\to\prod_{i\in I}M_i$ $\for
\end{tikzcd}
\]\vspace*{\fill}
\end{multicols}
+ \marginpar{\tiny поэтому я сомневаюсь что вообще выборы будут
От противного докажем, что $X'=Y$. Предположим, что $\exists b
@@ -1102,7 +1115,7 @@ $\forall f\colon X\to\prod_{i\in I}M_i$ $\for
\end{multicols}
\end{proof}
\section*{Практики 4, 5 и 6: гомологические размерности, продолжен
+\addcontentsline{toc}{subsection}{\bfseries Практики 4, 5 и 6: гом
Во всех задачах $R$~-- кольцо. Все модули левые; если не указано,
\begin{enumerate}
\item Кольцо $R$ называется {\bfseries\itshape регулярным по ф
@@ -1155,7 +1168,7 @@ $\forall f\colon X\to\prod_{i\in I}M_i$ $\for
\end{equation}
и аналогичная для $\psi$.
+Пусть $R$~-- кольцо; тогда на нём задается структура $\Z$-модуля.
\[
\begin{tikzcd}
\Hom_\Z(\overset{\cong N}{N\otimes_RR},\Q)\ar[two heads]{rrr}{\mat
@@ -1203,7 +1216,7 @@ $\forall f\colon X\to\prod_{i\in I}M_i$ $\for
\[
0\to\underset{n}{Y_{\vphantom{n-1}}}\to\underset{n-1}{E_{n-1}}
\]
+ ``Множество''\marginpar{\vspace*{-2em}\tiny По-хорошему, совсе
\end{Def}
\paragraph{Вопрос из зала: почему $\mathcal{E}xt$ непусто?} При $n
@@ -1214,12 +1227,12 @@ $\forall f\colon X\to\prod_{i\in I}M_i$ $\f
Y\ar{r} & E'_{n-1}\ar{r} & \cdots\ar{r} & E'_0\ar{r}& X
\end{tikzcd}
\]
+для $-1\le k\le n$ существует $f_k\colon E_k\to E'_k$ ($f_{-1}\col
Мы построим ``хорошую'' биекцию между $\begin{tikzcd}[cramped,colu
\begin{proof}[Конструкция биекции]
Возьмем $0\to Y\to E_{n-1}\to\cdots\to E_0\to X\to0$~-- элемен
+ \marginpar{\vspace*{2em}\tiny Поднимаем $\id_X$ в резольвенты
\begin{tikzcd}[cramped,column sep=scriptsize]
\cdots\ar{r} & P_{n+1}\ar[swap,bend left=38]{rd}{0}\ar{r} & P_
& 0\ar{r} & Y\ar[hook]{r} & E_{n-1}\ar{r} & \cdots\ar{r} & E_1
@@ -1228,7 +1241,7 @@ $\forall f\colon X\to\prod_{i\in I}M_i$ $\for
\]
коммутативна. $0=P_{n+1}\to P_n\to P_{n-1}\overset{f_{n-1}}{\t
+ Он не зависит от способа выбора $f_i$\marginpar{\tiny вспомнит
Он не зависит от выбора резольвенты: все резольвенты гомотопич
%кажется, это все выборы\todo{Он не зависит от выборов}
@@ -1388,7 +1401,7 @@ Y\ar[hook]{r} & K_{n-1}\ar{r} & \cdots\ar{r}
\begin{proof} Модули $\Barr_n$~-- свободные $\Z G$-модули. Нужно п
\begin{enumerate}
\item $d_{n-1}d_n=0$~-- почти понятно: слагаемые в сумме о
+ \item\label{proof_barresisexact} ``Расщепим'' последовател
Определим $s_{-1}\colon1\mapsto[\;]$, $s_n\colon [g_1,\ldo
\[(s_{-1}\pi+d_0s_0)([\;]g)=[\;]-d_0([g])=[\;]-([\;]-[\;]g
@@ -1414,7 +1427,7 @@ Y\ar[hook]{r} & K_{n-1}\ar{r} & \cdots\ar{r}
$H_1(G,\Z)\cong G_{\ab}$.
\end{stmt}
+Теперь применяем к ней $\Hom_{\Z G}(-,A)$. Из $\otimes$-$\Hom$ соп
\[
A\overset{a\mapsto\phi_a}{\longrightarrow}\Hom_\Z(\Z G,A)\overset{
\] |