| notes.tex (191222B)
1 % !TeX program = lualatex
2 % !TeX encoding = UTF-8
3 % !TeX spellcheck = ru_RU
4 % !TeX root = notes.tex
5 \documentclass[utf8,a4paper,12pt,oneside]{article}
6 % Encoding
7 %\usepackage{fontspec}
8 \usepackage{polyglossia}
9 \setdefaultlanguage{russian}
10 \setotherlanguages{english}
11
12 \usepackage{fontspec}
13 \setmainfont{CMU Serif}
14 \setsansfont{CMU Sans Serif}
15 \setmonofont{CMU Typewriter Text}
16 %\usepackage{cmap} % make output searchable and copyable
17 %\usepackage[utf8]{inputenc}
18 %\usepackage[russian]{babel}
19 \usepackage[]{amsmath,amssymb,textcomp,amsthm,mathtools,yhma
20 \usepackage[table]{xcolor}
21 \usepackage{tikz-cd}
22 \usepackage{comment}
23 \usepackage{fancyhdr,imakeidx,needspace,microtype} % fancy h
24 \usepackage{multicol,hyperref,cleveref,todonotes} %better co
25 \usepackage[inline]{enumitem} % better enumerations
26 \usepackage[datesep={.}]{datetime2}
27 \DTMsetdatestyle{ddmmyyyy}
28 %\renewcommand{\dateseparator}{.}
29 %\usepackage[left=1.75cm,right=1.25cm,top=1cm,bottom=3cm,bin
30 \usepackage[top=2.5cm, left=3.5cm, right=2cm, bottom=3.0cm,m
31
32 % git integration
33 \usepackage{gitinfo2}
34
35 %for margin notes
36 \reversemarginpar
37
38 \definecolor{coolblack}{rgb}{0.0, 0.18, 0.39}
39 \definecolor{cadmiumgreen}{rgb}{0.0, 0.42, 0.24}
40 \definecolor{pigmentblue}{rgb}{0.2, 0.2, 0.6}
41 \definecolor{brightblue}{HTML}{006699}
42 \definecolor{applegreen}{rgb}{0.55, 0.71, 0.0}
43 \definecolor{awesome}{rgb}{1.0, 0.13, 0.32}
44 \definecolor{silver}{rgb}{0.75, 0.75, 0.75}
45 \hypersetup{ %use colored text instead of ugly boxes
46 colorlinks,
47 linkcolor={cadmiumgreen},
48 urlcolor={pigmentblue},
49 linktoc=all,
50 pdftitle={Конспект лекций по гомологической алгебре},
51 pdfsubject={Гомологическая алгебра},
52 pdfauthor={},
53 %pdfcreator={},
54 pdfdirection={L2R},
55 pdflang={ru-RU}%,
56 % unicode=true
57 }
58
59 % reverse column, to typeset adjoint functors or bijections
60 \newcommand*\cocolon{%
61 \nobreak
62 \mskip6mu plus1mu
63 \mathpunct{}%
64 \nonscript
65 \mkern-\thinmuskip
66 {:}%
67 \mskip2mu
68 \relax
69 }
70 \mathchardef\mdash="2D
71
72 %\tikzcdset{
73 % arrow style=tikz,
74 % diagrams={>={Straight Barb[scale=0.8]}}
75 %}
76
77 \DeclareMathOperator{\op}{op}
78 \DeclareMathOperator{\coker}{coker}
79 \DeclareMathOperator{\id}{id}
80 \DeclareMathOperator{\im}{im}
81 \DeclareMathOperator{\Hom}{Hom}
82 \DeclareMathOperator{\Tor}{Tor}
83 \DeclareMathOperator{\Ext}{Ext}
84 \DeclareMathOperator{\Cone}{Cone}
85 \DeclareMathOperator{\Tot}{Tot}
86 \DeclareMathOperator{\Ob}{Ob}
87 \DeclareMathOperator{\pd}{pd}
88 \DeclareMathOperator{\fd}{fd}
89 \DeclareMathOperator{\gldim}{gldim}
90 \DeclareMathOperator{\Tordim}{Tordim}
91 \DeclareMathOperator*{\colim}{colim}
92 \DeclareMathOperator{\Mat}{Mat}
93 \DeclareMathOperator{\ord}{ord}
94 \DeclareMathOperator{\Barr}{Bar}
95 \DeclareMathOperator{\ab}{ab}
96 \DeclareMathOperator{\Der}{Der}
97 \DeclareMathOperator{\PDer}{PDer}
98 \DeclareMathOperator{\Aut}{Aut}
99 \DeclareMathOperator{\Inn}{Inn}
100 \DeclareMathOperator{\Out}{Out}
101 \newcommand\Z{\mathbb{Z}}
102 \newcommand\Q{\mathbb{Q}}
103 \newcommand\N{\mathbb{N}}
104 \newcommand\defeq{\overset{\text{\normalfont def}}{=}}
105 \newcommand{\unsim}{\mathord{\sim}} % recommended way to cor
106
107 \let\phi\varphi
108 \renewcommand{\le}{\leqslant}
109 \renewcommand{\ge}{\geqslant}
110
111 \let\mcsepold\multicolsep
112
113 \setcounter{section}{-1}
114
115 \theoremstyle{definition}
116 \newtheorem{Def}{Определение}
117 \newtheorem{stmt}{Утверждение}
118 \newtheorem{thm}{Теорема}
119 \newtheorem{lemma}{Лемма}
120 \newtheorem{exc}{Упражнение}
121 \newtheorem*{fact}{Факт}
122 \newtheorem*{corollary*}{Следствие}
123
124 %1-time use
125 \newtheorem*{fivelemma}{5-лемма}
126
127 %headers/footers
128 \pagestyle{fancyplain}
129 \fancyhf{}
130 \fancyhead[R]{\thepage}
131 \fancyhead[L]{\hyperlink{toc}{\scshape\nouppercase\leftmark}
132 \renewcommand{\headrulewidth}{1.2pt}
133
134 %index
135 \makeindex[title=Индекс]{}
136
137 %packages/commands for fun/art purposes
138 \usepackage{epigraph}
139 \newcommand{\pride}[6]{{\color{red}#1}{\color{orange}#2}{\co
140 %\usepackage{churchslavonic}
141
142 %end of preamble
143
144 \begin{document}
145 \begin{titlepage}
146 \thispagestyle{empty}
147 \newgeometry{left=2cm, bottom=2.5cm, top=2.5cm, righ
148 \centering
149 $${\bigcap}\kern-0.8em\raisebox{0.3ex}{$\subset$}\ke
150 {\scshape\large Amogus\par\vspace{-0.3em} University
151 \vspace{5cm}
152 {\Huge\scshape\bfseries\pride{Г}{о}{М}{о}{Л}{о}\prid
153 \vspace{0.5cm}
154 {\scshape\Large Конспект лекций\par}
155 \vspace{2cm}
156 %{\Large\itshape ?\par}
157 %\vfill
158 %supervised by\par
159 %Dr.~Mark \textsc{Brown}
160
161 \vfill
162
163 % Bottom of the page
164 {\large\texttt{Версия \gitBranch/\gitAbbrevHash}\par
165 \end{titlepage}
166 \restoregeometry
167 \hypertarget{toc}\tableofcontents\newpage
168 \section*{\marginpar{Лекция 1\\2 сентября}Введение}
169 \addcontentsline{toc}{section}{Введение}
170 \epigraph{Мы как бы не в школе, поэтому $-3$ от $6$ не отлич
171 Зачем нужна гомологическая алгебра:
172 \begin{enumerate}
173 \item Работа с ``препятствиями'':
174 \begin{enumerate}
175 \item Пусть $A\hookrightarrow B$, в каких случаях $A
176 \item Пусть $R$~-- кольцо. Описываем какие-то модули
177 $$M=M_0\ge M_1\ge\ldots\ge M_n=\{0\}$$
178 где $M_i/M_{i+1}$ простые. Значит, нужно описать про
179 (можно доказать, что) есть короткая точная последова
180 где $S,T$~-- простые. За то, насколько $M$ ``отличае
181 \end{enumerate}
182 \item Поиск инвариантов.
183 \begin{enumerate}
184 \item В топологии (ну понятно)
185 \item В алгебре: алгебры сложно классифицировать с т
186 \end{enumerate}
187 \end{enumerate}
188 \section{Основные определения}
189 \subsection{Компл\'{е}ксы}
190 \begin{Def}\index{Комплекс}
191 Компл\'{е}кс $R$-модулей~-- (бесконечная в обе стороны)
192 $$
193 \cdots\to X_3\overset{d_2}{\to}X_2\overset{d_1}{\to}X_1\
194 $$
195 \end{Def}
196 Немного переформулируем определение:
197 \begin{Def}\index{Градуированный модуль}
198 Градуированный модуль~-- модуль $X$ с разложением $X=\bi
199
200 Если $X,Y$~-- градуированные модули (с прямыми слагаемым
201 \end{Def}
202 \begin{Def}\index{Дифференциал} Дифференциал на $X$~-- гомом
203 \begin{Def}[переопределение комплекса] Комплекс~-- градуиров
204 \begin{Def}\index{Гомологии}
205 $(X,d)$~-- комплекс, тогда (из определения дифференциала
206 \end{Def}
207 Градуировка на $X$ индуцирует градуировку на $H_*(X)=\bigopl
208 \begin{Def}\index{Сдвинутый комплекс}\label{shiftedcomplex}
209 $X$~-- комплекс, $n\in\Z$. Через $X[n]$ обозначим компле
210 \end{Def}
211 \begin{Def}\index{Ацикличный комплекс}\index{Точный комплекс
212 Комплекс $X$ называется ацикличным, если $H_n(X)=0\,\for
213 \end{Def}
214 \begin{Def}\index{Цепное отображение}
215 $(X,d^X)$, $(Y,d^Y)$~-- комплексы. Гомоморфизм $f\colon
216 \end{Def}
217 \begin{stmt}\label{homologyisafunctor}
218 Если $f\colon X\to Y$~-- цепное отображение, то оно инду
219 \end{stmt}
220 \begin{proof}
221 \begin{multicols}{2}
222 Заметим следующее: \begin{enumerate}[before=\setleng
223 \itemsep0em
224 \item $x\in\ker d_{n-1}^X\Rightarrow 0=f_{n-1}d_{n-1
225 \item $f_n(\im d_n^X)=f_nd_n^X(X_{n+1})=d_n^Yf_{n+1}
226 \item стрелка $\ker d_{n-1}^X\to H_nY$~-- композиция
227 \end{enumerate}
228 \columnbreak%\vspace*{\fill}
229 \noindent\begin{tikzcd}[cramped,column sep=tiny,row sep=
230 X_{n+1}\ar{rrrr}{d^X_n}\ar[labels=description]{ddd}{f_{n
231 & \im d^X_{n}\ar[hook]{r}\ar[]{d}{\text{\tiny(2)}}& \ker
232 & \im d^Y_{n}\ar[hook]{r}& \ker d^Y_{n-1}\ar[hook]{drr}\
233 Y_{n+1}\ar{rrrr}{d^Y_n}\ar[two heads]{ur} & & & & Y_n \a
234 \end{tikzcd}
235 %\vspace*{\fill}
236 \end{multicols}
237 \end{proof}
238 Cтрелка по построению получается единственная, так что $H_n(
239
240 %Если $H_n(f)$ эпиморфизм, то $(3)$ эпиморфизм, а значит $(1
241 \begin{stmt}[которого не было на лекциях]
242 $H_n$~-- аддитивный функтор.
243 \end{stmt}
244 \begin{proof} Проверим, что $H_n(f+g)=H_n(f)+H_n(g)$. Достат
245 \begin{multicols}{2}
246 \noindent\vspace*{\fill}
247 \[
248 \begin{tikzcd}
249 \ker d^X_{n-1}\ar{d}{f+g}\ar[two heads]{r}{\pi_X}&H_
250 \ker d^Y_{n-1}\ar[two heads]{r}{\pi_Y}&H_nY
251 \end{tikzcd}
252 \]
253 \vspace*{\fill}
254 \columnbreak
255
256 Действительно, $f,g$~-- цепные отображения, так что
257 \[H_nf\circ\pi_X=\pi_Y\circ f\text{ и }H_ng\circ\pi_
258 Складываем и получаем то, что нужно.\qedhere
259 \end{multicols}
260 \end{proof}
261 \begin{Def}\index{Квазиизоморфизм}
262 Морфизм $f\colon X\to Y$ комплексов называется квазиизом
263 \end{Def}
264 \begin{Def}\index{Гомотопия}
265 $f,g\colon X\to Y$~-- морфизмы комплексов. {\bfseries Го
266 \[\begin{tikzcd}[sep=normal]
267 \cdots\ar{r}\ar{dd} & X_{i+1}\ar{r}{d^X_{i}}\ar{dd}[slo
268 & & & & \\
269 \cdots\ar{r} & Y_{i+1}\ar{r}{d^Y_{i}} & Y_i\ar{r}{d^Y_{
270 \end{tikzcd}\]
271 \end{Def}
272 \begin{Def}\index{Гомотопическая эквивалентность}
273 Комплексы $X,Y$ называются {\bfseries гомотопически экви
274 \end{Def}
275 \begin{stmt}\label{stmt_homequivisqis}
276 Гомотопическая эквивалентность~-- квазиизоморфизм.
277 \end{stmt}
278 \begin{proof}
279 Даны $f\colon X\rightleftarrows Y\cocolon g$, что $gf\si
280 \end{proof}
281 \subsection{Проективные модули}
282 \begin{Def}\index{Проективный модуль}
283 Модуль $P$ называется {\bfseries проективным}, если \[
284 \begin{tikzcd}[cramped,sep=large]
285 P\ar[swap]{d}{\exists h} \ar{dr}{\forall f} & \\
286 A \ar[two heads]{r}{\forall g} & B % \ar{r} & 0
287 \end{tikzcd}
288 \]
289 \end{Def}
290 Например, свободный модуль проективен.
291 \begin{exc}
292 $P$ проективный $\iff$ $\exists F$~-- свободный, что $F\
293 \end{exc}
294 \begin{proof}[Решение]\let\qed\relax Обозначим $\langle P\ra
295 \begin{enumerate}
296 \item[$1\Rightarrow2$]\marginpar{\tiny Без проективн
297 \item[$2\Rightarrow1$] Подходит $\langle P\rangle_R$
298 \begin{tikzcd}[cramped,sep=small]
299 & \langle P\rangle_R\ar[sloped,labels=description]
300 T\ar[two heads]{rr} & & M &
301 \end{tikzcd}
302 \item[$1\Leftrightarrow 3$] очевидно? \begin{tikzcd}
303 \item[$1\Rightarrow4$] $P$ проективен $\Rightarrow$
304 \item[$1\Leftarrow4$] Рассмотрим $P\to R^I$, определ
305 \end{enumerate}
306 \end{proof}
307 \begin{stmt}\label{top1coolestaffactaboutprojectivemodules}Д
308 \begin{Def}\index{Проективная резольвента}\index{Резольвента
309 Пусть $M$~-- модуль. Его можно интерпретировать как комп
310 $$\cdots\to M_2=\{0\}\to M_1=\{0\}\to M_0=M\to M_{-1}=\{
311 Комплекс $P$, где все $P_i$ проективные, с морфизмом ком
312
313 Другими словами (и картинкой)
314 \[
315 \begin{tikzcd}[cramped,sep=large]
316 \cdots\ar{r}{d_2}& P_2\ar{r}{d_1}& P_1\ar{r}{d_0}\ar
317 \cdots\ar{r}& 0\ar{r}& 0\ar{r}& M\ar[r]{d_2}& 0\ar{r
318 \end{tikzcd}
319 \]
320 А из квазиизоморфности $H_iP=0,i\ne 0\iff \ker d_{i-1}=\
321 \[
322 \begin{tikzcd}[cramped,sep=large]
323 \cdots\ar{r}\ar{d}{\cong}& H_2P\ar{r}\ar{d}{\cong}& H_1P
324 \cdots\ar{r}& 0\ar{r}& 0\ar{r}& H_0M=M\ar[r]{d_2}& 0\ar{
325 \end{tikzcd}
326 \]
327 \end{Def}
328 \needspace{10\baselineskip}
329 \begin{stmt}\label{stmt_projresexists}
330 У любого модуля существует проективная резольвента.
331 \end{stmt}
332 \begin{proof}
333 \begin{multicols}{2}
334 По утверждению~\ref{top1coolestaffactaboutprojective
335
336 \columnbreak\vspace*{\fill}
337 \noindent\begin{tikzcd}[cramped,sep=tiny]
338 & & & \ker d_0\ar[hook]{dr}{\iota_1} & & & & & \\
339 \cdots\ar{rr}{d_2}\ar[two heads]{rd} & & P_2\ar{rr}{
340 & \ker d_1\ar[hook]{ur}& & & & \ker\varepsilon\ar[sw
341 \end{tikzcd}
342 \vspace*{\fill}
343 \end{multicols}
344 \end{proof}
345 \begin{stmt}\label{projresolutionequivce}
346 Пусть $P\overset{\varepsilon}{\to}M$ и $Q\overset{\tau}{
347 \end{stmt}
348 \begin{proof}
349 \begin{multicols}{2}
350 $\tau$~-- эпиморфизм, поэтому $\exists f_0\colon P_0
351
352 Так как $\tau f_0d_0=\varepsilon d_0=0$ (последнее р
353
354 (ну итд, $d_0'f_1d_1=f_0d_0d_1=0\Rightarrow \im f_1d
355
356 \columnbreak\vspace*{\fill}
357 \noindent\begin{center}
358 \begin{tikzcd}[cramped,sep=small]
359 P_2\ar{rr}{d_1}\ar{dd}{\exists f_2}\ar{rd} &
360 & \ker d_0'\ar[hook]{rd} & &\ker\
361 Q_2\ar{rr}{d_1'}\ar[two heads]{ur}& & Q_1\ar
362 \end{tikzcd}
363 \end{center}
364 Аналогично строится $g_i$, что $\varepsilon g=\tau$.
365 \vspace*{\fill}
366 \end{multicols}
367 \setlength{\multicolsep}{\parskip}
368 \begin{multicols}{2}
369 Теперь доказываем, что это гомотопические эквивалент
370
371 Обозначим $gf\defeq h$. Заметим, что $\varepsilon h=
372
373 \columnbreak
374 \vspace*{\fill}
375 \noindent\begin{center}
376 \begin{tikzcd}[cramped,column sep=small, row sep
377 P_2\ar{rr}{d_1}\ar{dd}{} & & P_1\ar{rr}{d_0}\ar[
378 & & & & & M \\
379 P_2\ar{rr}{d_1}\ar[two heads]{rd}& & P_1\ar{rr}{
380 P_0\ar[two heads]{ru}{\varepsilon} & \\
381 & \ker d_0\ar[color=coolblack,hook]{ur}& & \ker\
382 \end{tikzcd}
383 \end{center}
384 \vspace*{\fill}
385 \end{multicols}
386 Далее нужно найти $s_2\colon P_1\to P_2$, что $h_1-\id_{
387 \setlength{\multicolsep}{\mcsepold}
388 \end{proof}
389 \section*{Практика 1: функтор $\Tor$}
390 \addcontentsline{toc}{subsection}{\bfseries Практика 1: функ
391 {\itshape Волчара решил, что давать на праках часть определе
392
393 На этой практике нужно знать, что такое функтор $\Tor$ (c.~\
394
395 Во всех задачах $R,S$~-- кольца. Все модули левые, если не у
396
397 \begin{enumerate}[start=0]
398 \item\label{Pract1Prob0} Пусть $M$~-- модуль. Докажите,
399 \begin{itemize}
400 \item $M$ плоский;
401 \item $\Tor_1^R(X,M)=0$ для любого правого модуля $X
402 \item $\Tor_n^R(X,M)=0$ для любого правого модуля $X
403 \end{itemize}
404 \begin{proof}[Решение]\let\qed\relax
405 Рассмотрим короткую точную последовательность $K_X\h
406 \begin{align*}\hspace{-8em}
407 \cdots\to\Tor_2^R(X,M)\to\Tor_1^R(K_X,M)\to\Tor_1^R(
408 \end{align*}
409 Пусть $M$ точный, тогда $K_X\otimes_RM\hookrightarro
410
411 Заметим, что $\Tor_1^R(K_X,M)=0$. Кроме того, $\Tor_
412 \end{proof}
413 \item\label{Pract1Prob1} Пусть $A$~-- абелева группа. Вы
414 \begin{proof}[Решение]\let\qed\relax
415 $\Z\overset{\cdot m}{\hookrightarrow}\Z\twoheadright
416
417 \[
418 0=\Tor_1^R(\Z,A)\to\Tor_1^\Z(\Z/m\Z,A)\to A\to A\two
419 \]
420 Все старшие торы, понятно, нулевые: кусок последоват
421
422 $\Tor_1^\Z(\Z/m\Z,A)=\ker(\Z\otimes_{\Z}A\overset{(\
423 \end{proof}
424 \item\label{Pract1Prob2} Пусть $A,B$~-- абелевы группы.
425 \begin{proof}[Решение]\let\qed\relax
426 Из задачи~\ref{Pract1Prob1}, аддитивности $\Tor$ и у
427 \end{proof}
428 \item\label{Pract1Prob3} Пусть $A$~-- абелева группа. До
429 \begin{proof}[Решение]\let\qed\relax\leavevmode
430 \begin{enumerate}
431 \item[$\Leftarrow$] Абелева группа~-- копредел с
432 \item[$\Rightarrow$] Если $A$~-- плоский модуль,
433 \end{enumerate}
434 \end{proof}
435 \item Докажите, что $\Tor_1^\Z(\Q/\Z,A)\cong\{a\in A|\ex
436 \begin{proof}[Решение]\let\qed\relax
437 Рассмотрим короткую точную последовательность $\Z\ho
438 \[
439 \cdots\to\Tor_1^\Z(\Q,A)\to\Tor_1^\Z(\Q/\Z,A)\to\Z\o
440 \]
441 $\Q$ свободна от кручения, поэтому она плоская, так
442 \end{proof}
443 \item Пусть $A$~-- абелева $m$-группа. Вычислите $\Tor_n
444 \begin{proof}[Решение]\let\qed\relax
445 $m=d'd$.
446
447 Запишем $\Z/m\Z$-проективную резольвенту $\Z/d\Z$
448 \[\cdots\to\Z/m\Z\overset{\cdot d'}{\to}\Z/m\Z\overs
449 и применим $-\otimes_{\Z/m\Z}A$.
450 \[\cdots\overset{\cdot d}{\to}A\overset{\cdot d'}{\t
451 $\Tor_0^{\Z/m\Z}(\Z/d\Z,A)=A/dA$. $\Tor_{2k+1}^{\Z/m
452 \end{proof}
453 \item Докажите, что $\Tor_1^R(R/I,R/J)\cong\frac{I\cap J
454 \begin{proof}[Решение]\let\qed\relax
455 Запишем длинную точную последовательность для $I\hookrig
456 \[\underset{=0}{\Tor_1^R(R,R/J)}\to\Tor_1^R(R/I,R/J)\hoo
457 $\Tor_1^R(R/I,R/J)=\ker f$. Ну и почти очевидно, что оно
458 \end{proof}
459 \item Докажите, что $\Tor_{n+1}^R(R/I,X)\cong\Tor_n^R(I,
460 \begin{proof}[Решение]\let\qed\relax
461 Очень простое следствие из комментария к теореме~\re
462 \end{proof}
463 \item\label{Pract1Prob8} Пусть $0\to A\to B\to C\to 0$~-
464 \begin{proof}[Решение]\let\qed\relax
465 Вспомним, что $\Tor_n^R(X,M)=L_n(-\otimes_RM)(X)=L_n
466 \[\cdots\to\Tor_2^R(X,C)\to\Tor_1^R(X,A)\to\Tor_1^R(
467 Несколько раз применяем задачу~\ref{Pract1Prob0}.
468 \end{proof}
469 \end{enumerate}
470
471 \subsection{Производные функторы}\marginpar{Лекция 2\\9 сент
472 \begin{Def}\index{Точный слева функтор}\index{Точный справа
473 $\mathcal{A},\mathcal{B}$~-- абелевы категории (например
474
475 Контравариантный функтор называется {\bfseries точным сп
476 \end{Def}
477 \begin{stmt}[обобщение утверждения~\ref{projresolutionequivc
478 $P\overset{\varepsilon}{\to} M$ и $Q\overset{\tau}{\to}
479 \end{stmt}
480 Доказывается собственно точно так же.
481 \begin{Def}\index{Производный функтор}
482 $F\colon\mathrm{Mod\mdash}R\to\mathrm{Mod\mdash}S$~-- (к
483
484 Так как проективные резольвенты эквивалентны\marginpar{\
485
486 $f\colon M\to N$~-- гомоморфизм. $P_*\to M$ и $Q_*\to N$
487 \end{Def}
488 Точность справа здесь (пока что) нигде не используется. Но и
489
490 Левые производные функторы можно определить не только для фу
491 \begin{thm}[о длинной точной последовательности]\label{LESfo
492 $X\hookrightarrow Y\twoheadrightarrow Z$~-- короткая точ
493 \[
494 \cdots\to(L_2F)Z\overset{\partial}{\to}(L_1F)X\to(L_1F)Y
495 \]
496 $\partial$ называется \textbf{связующим гомоморфизмом}.
497
498 Более того, если есть морфизм коротких точных последоват
499 \[
500 \begin{tikzcd}[cramped,sep=scriptsize]
501 X\ar[hook]{r}\ar[]{d} & Y\ar[two heads]{r}\ar[]{d} &
502 X'\ar[hook]{r} & Y'\ar[two heads]{r} & Z'
503 \end{tikzcd}
504 \]
505 то в длинных точных последовательностях все квадраты ком
506 \[
507 \begin{tikzcd}[cramped,sep=small]
508 \cdots\ar{r}\ar{d} & (L_2F)Z\ar{r}{\partial}\ar{d} & (L_
509 \cdots\ar{r} & (L_2F)Z'\ar{r}{\partial'} & (L_1F)X'\ar{r
510 \end{tikzcd}
511 \]
512 \end{thm}
513 Для доказательства понадобится несколько (в целом очень важн
514 \begin{lemma}[о змее]\index{Лемма о змее}\label{snakelemma}
515 \[
516 \begin{tikzcd}[cramped,sep=scriptsize]
517 A\ar{r}\ar{d}{f} & B\ar[two heads]{r}{p}\ar{d}{g}& C
518 X\ar[hook]{r}{i} & Y\ar[r] & Z
519 \end{tikzcd}
520 \]
521 Верхняя строчка точна в $B$ и $C$, нижняя строчка точна
522
523 Тогда $\exists \partial\colon\ker h\to\coker f$, что пос
524 \[
525 \ker f\to\ker g\to\ker h\overset{\partial}{\to}\coker f\
526 \]
527 точна. Более того, если $A\to B$ мономорфизм, то последо
528 \end{lemma}
529 Техника в доказательстве этой леммы называется ``diagram cha
530 \setlength{\multicolsep}{\parskip}
531 \begin{proof}
532 \begin{multicols}{2}
533 Берем $x\in\ker h\subseteq C$.
534
535 $p$~-- сюрьекция, поэтому $\exists x'\in p^{-1}(x)$.
536 \[\beta(x'')=\beta g(x')=hp(x')=h(x)=0\] (т.к. $x\in
537
538 Это отображение не зависит от выбора: $i$ мономорфиз
539
540 \columnbreak
541 \noindent{\scriptsize(отождествим $\ker h$ с подмоду
542 \vspace*{\fill}
543 \noindent\begin{center}
544 \begin{tikzcd}[cramped, sep=scriptsize]
545 \ker f\ar[hook]{d}\ar{r} & \ker g\ar[hook]{d}\ar
546 \ar[rounded corners,%color=silver,
547 to path={ -- ([xshift=2ex]\tikztostart.east)
548 |- (G.center) \tikztonodes
549 -| ([xshift=-2ex]\tikztotarget.west)
550 -- (\tikztotarget)}]{dddll}[near start]{\par
551 A \ar{r}{\alpha}\ar[crossing over,near start]{d}
552 X\ar[two heads]{d}\ar[hook]{r}{i} & Y\ar{r}{\bet
553 \coker f\ar{r} & \coker g\ar{r} &\coker h
554 \end{tikzcd}
555 \end{center}
556 \vspace*{\fill}
557 \end{multicols}
558 $i^{-1}g(x'+\im\alpha)=i^{-1}g(x')+i^{-1}\im if=i^{-1}g(
559
560 \todo{Получающаяся последовательность действительно точн
561
562 Это действительно гомоморфизм (по формуле).
563
564 Если $A\rightarrow B$~-- мономорфизм, то и $\ker f\to\ke
565 \setlength{\multicolsep}{\mcsepold}
566
567 На самом деле построенное отображение $\partial$ функтор
568 \[
569 \begin{tikzcd}[cramped,sep=small]
570 \ker h\ar{d}\ar{r}{\partial} & \coker f\ar{d}\\
571 \ker h'\ar{r}{\partial'}& \coker f'
572 \end{tikzcd}
573 \]
574 \end{proof}
575 \begin{fivelemma}[\hypertarget{fivelemma}{которой не было на
576 \[
577 \begin{tikzcd}[cramped,sep=scriptsize]
578 A\ar{d}{a}\ar{r} & B\ar{d}{b}\ar{r} & C\ar{d}{c}\ar{r}
579 A'\ar{r} & B'\ar{r} & C'\ar{r} & D'\ar{r} & E' \\
580 \end{tikzcd}
581 \]
582 Если такая диаграмма с точными строками коммутативна, то
583 \begin{itemize}\setlength\itemsep{0.0em}
584 \item если $b,d$~-- мономорфизмы и $a$~-- эпиморфизм
585 \item если $b,d$~-- эпиморфизмы и $e$~-- мономорфизм
586 \item (если $a,b,d,e$~-- изоморфизмы, то $c$~-- изом
587 \end{itemize}
588 \end{fivelemma}
589 \begin{lemma}[\hypertarget{horseshoe}{о подкове}]\label{hors
590 В диаграмме c проективными $P,Q$ и точной нижней (ну и в
591 \[
592 \begin{tikzcd}[cramped,sep=small]
593 P\ar[two heads]{d}\ar[hook]{r} & P\oplus Q\ar[two he
594 X\ar[hook]{r} & Y\ar[two heads]{r} & Z
595 \end{tikzcd}
596 \]
597 существует $P\oplus Q\twoheadrightarrow Y$, что все квад
598 \end{lemma}
599 \begin{proof}
600 Определим $P\to Y$ просто как композицию. Из проективнос
601 \end{proof}
602 \begin{proof}[Доказательство теоремы~\ref{LESforleftderivedf
603 Обозначим $K_X$ ядро понятного из контекста (надеюсь!) м
604 \begin{multicols}{2}
605 \[
606 \begin{tikzcd}[cramped, sep=scriptsize]
607 K_X\ar[hook]{d}\ar[hook]{r} & K_Y\ar[hook]{d}\ar[two
608 P\ar[hook]{r}\ar[two heads]{d} & P\oplus Q\ar[two he
609 X\ar{d}\ar[hook]{r} & Y\ar[two heads]{r}& Z\\
610 0 & &
611 \end{tikzcd}
612 \]
613 \columnbreak
614 \[
615 \begin{tikzcd}[cramped, sep=scriptsize]
616 K_{FK_X}\ar[hook]{d}\ar{r}&K_{FK_Z}\ar[hook]{d}\ar{r
617 FK_X\ar{d}\ar{r} & FK_Y\ar{d}\ar[two heads]{r} &FK_Z
618 FP\ar[hook]{r}\ar[two heads]{d} & FP\oplus FQ\ar[two
619 FX\ar{r} & FY\ar[two heads]{r}& FZ
620 \end{tikzcd}
621 \]
622 \end{multicols}
623 \setlength{\multicolsep}{\parskip}
624 \begin{multicols}{2}
625 Так как $K_X\hookrightarrow P\twoheadrightarrow X$ т
626
627 $\cdots\to Q_2\to Q_1\to Q\twoheadrightarrow Z$~-- п
628
629 Отображение $FK_Z\to FQ$ распадается в $FK_Z\twohead
630 \columnbreak
631 \[
632 \begin{tikzcd}[cramped,sep=scriptsize]
633 & \vdots\ar{d}\\
634 \im Fd_1\ar[hook]{d} & \ar[two heads]{l}FQ_2\ar{dd}{
635 \ker Fd_0\ar[hook]{dr}\ar[two heads]{d}{} & \\
636 K_{FK_Z}\ar[hook]{d} & FQ_1\ar{dd}{Fd_0}\ar[two head
637 FK_Z\ar[color=cadmiumgreen]{dr} & \\
638 & FQ\ar[two heads]{d}\\
639 & FZ
640 \end{tikzcd}
641 \]
642 \end{multicols}
643 Аналогично продолжаем для диаграммы
644 \[
645 \begin{tikzcd}[cramped, sep=small]
646 K'_X\ar[hook]{r}\ar[hook]{d}&K'_Y\ar[two heads]{r}\a
647 P_1\ar[hook]{r}\ar[two heads]{d} & P_1\oplus Q_1\ar[
648 K_X\ar[hook]{r}\ar{d}& K_Y\ar[two heads]{r}&K_Z\\
649 0 & & \\
650 \end{tikzcd}
651 \]
652 \setlength{\multicolsep}{\mcsepold}
653 \end{proof}
654 \label{LFkernelcomment}Из доказательства также получается, ч
655
656 Если $G$~-- контравариантный точный слева функтор, то таким
657
658 Итак, пусть $F\colon\mathrm{Mod\mdash}R\to \mathrm{Mod\mdash
659 \begin{enumerate}
660 \item \label{derfunct_prop_begin}$L_0F=F$
661 \item \label{derfunct_prop_middle}Для любой короткой точ
662 \item \label{derfunct_prop_end} $(L_iF)P=0\,\forall n\ge
663 \end{enumerate}
664 Оказывается, это работает как ``аксиоматическое'' определени
665 \begin{thm}
666 Если $T_n$ удовлетворяет свойствам (\ref{derfunct_prop_b
667 \end{thm}
668 \begin{proof}
669 Для любого модуля $X$ найдется точная последовательность
670 По пункту~\ref{derfunct_prop_end} для нее существует дли
671 \[
672 \cdots \to T_2P\to T_2X\to T_1K_X\to T_1P\to T_1X\to FK_
673 \]
674 По пункту~\ref{derfunct_prop_middle} $T_1P=0$, поэтому $
675 \end{proof}
676 \section*{Практика 2: плоские конечно представимые модули}
677 \addcontentsline{toc}{subsection}{\bfseries Практика 2: плос
678 Для решения задач из этой практики нужно знать, что такое ин
679 \begin{fact}[\hypertarget{projinjdef}{Другой критерий проект
680 $R$-модуль $X$ проективный тогда и только тогда, когда д
681
682 Двойственно, $R$-модуль $X$ инъективный тогда и только т
683 \end{fact}
684 \begin{fact}[\hypertarget{homologyincomplex}{Комплекс распад
685 Рассмотрим кусок комплекса
686 \[
687 \begin{tikzcd}[cramped,sep=scriptsize]
688 \cdots\ar{r} & C_{i+1}\ar{rrr}{d_i}\ar[two heads]{rd} &&& C_
689 & & \im d_i\ar[hook]{r}&\ker d_{i-1}\ar[hook
690 &&&& H_i\ar[hook,labels=description]{ur}{(4)}
691 \end{tikzcd}
692 \]
693 Каждое отображение разбивается в композицию $C_{i+1}\twohead
694
695 $\ker((1)\colon C_i\to\im d_{i-1})=\ker d_{i-1}$. Так как $\
696
697 Кроме того заметим, что можно взять композицию отображения $
698 \end{fact} %\vspace*{1em}
699
700 На этой практике обсуждались плоские модули. Из задачи 0 про
701
702 Во всех задачах $R$~-- кольцо. Все модули левые; если не ука
703
704 \begin{enumerate}
705 \item\label{Pract2Prob1} Докажите, что $A=0\iff A^*=0$ (
706 \begin{proof}[Решение]\let\qed\relax\leavevmode
707 \begin{itemize}
708 \item[$\Rightarrow$] Если $A=0$, то из $A$ есть един
709 \item[$\Leftarrow$] Если $x\in A$, то по определению
710 \end{itemize}
711 \end{proof}
712 \item\label{Pract2Prob2} Докажите, что $0\to L\to M\to N
713 \begin{proof}[Решение]\let\qed\relax
714 Последовательность точная, значит, $H_i=0$ во всех ч
715 \end{proof}
716 \item\label{Pract2Prob3} Пусть $\sigma\colon A^*\otimes_
717 \item\label{flfprisproj} Докажите, что любой плоский кон
718 \begin{proof}[Решение]\let\qed\relax
719 $M$~-- плоский конечно представимый. Проверим, что $
720 \[\begin{tikzcd}[cramped,sep=scriptsize]
721 Y^*\otimes_RM\ar[hook]{r}\ar{d}{\cong} & X^*\oti
722 \Hom_R(M,Y)^*\ar[hook]{r} & \Hom_R(M,X)^*
723 \end{tikzcd}\]
724 Опять из задачи~\ref{Pract2Prob2} $\Hom_R(M,X)\twohe
725 \end{proof}
726 \end{enumerate}
727 \section{Функтор \texorpdfstring{$\Tor$}{Tor}}\marginpar{Лек
728 \subsection{Его определение}
729 \begin{Def}
730 $F$~-- точный справа функтор. Объект $T$ называется {\bf
731 \end{Def}
732 \begin{lemma}\label{acyclicres}
733 $T_*\to X$~-- $F$-ацикличная резольвента (то есть резоль
734 \end{lemma}
735 \begin{proof}
736 Рассмотрим последовательность $K_X\hookrightarrow T_0\tw
737 \[
738 \cdots\to L_1FK_X\to \overset{=\{0\}}{L_1FT_0}\to L_1FX\
739 \]
740 $L_1FT_0=0$, так что $L_1FX=\ker(FK_X\to FT_0)=H_1FT_*$.
741 \end{proof}
742 \begin{Def}\label{def_flatmodule}\index{Плоский модуль}
743 $R$-модуль $X$ называется {\bfseries плоским}, если $-\o
744 \end{Def}
745 \begin{Def}
746 $U_*,V_*$~-- комплексы, $f\colon U_*\to V_*$~-- морфизм
747 d^{U[-1]} & 0\\
748 f & d^{V}
749 \end{pmatrix}$. Это действительно комплекс:\marginpar{\v
750 \begin{pmatrix}
751 d^{U[-1]} & 0\\
752 f & d^{V}
753 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}
754 d^{U[-1]} & 0\\
755 f & d^{V}
756 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
757 -d^{U} & 0\\
758 f & d^{V}
759 \end{pmatrix}^2=\begin{pmatrix}
760 \left(d^{U}\right)^2 & 0\\
761 \underset{\mathclap{\substack{\text{0 по определению}\\\
762 \end{pmatrix}=0
763 \]
764 \end{Def}
765 \begin{lemma}\label{acycliciffqis}
766 $f\colon U_*\to V_*$~-- цепное отображение. Тогда $f$~--
767 \end{lemma}
768 Заметим, что существует короткая точная последовательность к
769 \begin{proof}[Доказательство (рабоче-крестьянское).] Обознач
770 $$d_{n}=\begin{pmatrix}
771 -d^{U}_{n-1} & 0\\
772 f_n & d^{V}_n
773 \end{pmatrix}$$
774 Запишем условие ацикличности: $\ker d_{n-1}\subseteq\im
775
776 $f$~-- квазиизоморфизм, то есть $H_n(f)$~-- мономорфизм
777
778 $H_{n-1}(f)$~-- мономорфизм, значит (см. диаграмму к док
779
780 $H_n(f)$~-- эпиморфизм, значит, $\ker d^U_{n-1}\to\ker d
781
782 Видно, что условие про $u$~-- это (c точностью до знака)
783 \end{proof}
784 \begin{Def}\index{Функтор $\Tor$}\index{$\Tor$}
785 Пусть $A$~-- правый $R$-модуль, $B$~-- левый $R$-модуль.
786 \end{Def}
787 Для доказательства фактов про $\Tor$ нужно еще несколько опр
788 \begin{Def}[тензорное произведение комплексов]\index{Тензорн
789 $U_*$~-- комплекс $\mathrm{{Mod}\mdash}R$, $V_*$~-- комп
790 Достаточно определить дифференциал на прямом слагаемом:
791 \[d^{U_*\otimes_RV_*}(u\otimes v)\defeq\underset{\in U_{
792 \[
793 \begin{tikzcd}[sep=scriptsize]
794 \ddots\ar{r}\ar{d}& \vdots\ar{d}\ar{r}& \vdots\ar{d}
795 \cdots\ar{r}\ar{d} & X_{i+1,j+1}\ar{r}{d^{X,h}_{i,j+
796 \cdots\ar{r}\ar{d} & X_{i+1,j}\ar{r}{d^{X,h}_{i,j}}\
797 \cdots\ar{r}\ar{d}& X_{i+1,j-1}\ar[swap]{r}{d^{X,h}_
798 \adots\ar{r} & \vdots\ar{r} & \vdots\ar{r} &\vdots\a
799 \end{tikzcd}
800 \]
801 \end{Def}
802 \begin{Def}[альтернативное определение~-- через двойной комп
803 {\bfseries Двойной комплекс}~-- это набор $\{X_{i,j}\}$
804
805 \marginpar{\scriptsize Если не предполагать, что квадрат
806
807 Тогда определим $X_{i,j}=U_i\otimes_RV_j$ и $U_*\otimes_
808 \end{Def}
809 \begin{thm}
810 $A$~-- правый $R$-модуль, $B$~-- левый $R$-модуль. $P_*\
811 \end{thm}
812 \begin{proof}
813 По определению, $\Tor_n^R(A,B)=H_n(P_*\otimes_RB)$.
814 \[
815 P_*\otimes_RB=\cdots\to P_2\otimes_RB\to P_1\otimes_RB\t
816 \]
817 Понятно, что корректно определено $P_*\otimes_RQ_*\overs
818 0 & j>0\\
819 u\otimes\varepsilon(v) &j=0
820 \end{cases}\]
821 Хотим показать, что $\id_P\otimes\varepsilon$~-- квазииз
822
823 $\varepsilon$~-- морфизм комплексов. $\Cone(\varepsilon)
824 \[
825 \cdots\overset{-d^Q_2}{\longrightarrow}Q_2\overset{-d^Q_
826 \]
827 Обозначим его за $X$. Почти понятно, что он ацикличен.
828
829 Почти очевидно, что $\Cone(\id_P\otimes\varepsilon)=P_*\
830
831 Будем доказывать по индукции по длине $P_*$. Это сработа
832
833 База: длина $P_*$~-- $1$. Проективные модули~-- плоские,
834
835 Длина $P_*$~-- $m+1$. \[P_{m+1}\to \underbrace{P_m\to\cd
836
837 Тогда $P_*\otimes_RX=\Cone(P_{m+1}[m]\otimes_RX\to\bar{P
838
839 Доказали, что $\id_P\otimes\varepsilon$ квазиизоморфизм,
840 \end{proof}
841 Аналогичным образом доказывается, что $H_n(A\otimes_RQ_*)\co
842 \begin{corollary*}
843 $L_n(-\otimes_RB)(A)\cong L_n(A\otimes_R-)(B)\defeq\Tor_
844 \end{corollary*}
845 \begin{stmt}\index{Плоский модуль}
846 Левый модуль плоский тогда и только тогда, когда для люб
847 \end{stmt}
848 \begin{corollary*}
849 Из леммы~\ref{acyclicres} следует, что можно вычислять $
850 \end{corollary*}
851
852 $\Q$ над $\Z$ плоский, но не проективный.
853 \section*{Практика 3: гомологические размерности}
854 \addcontentsline{toc}{subsection}{\bfseries Практика 3: гомо
855 Для решения задач из этой практики нужно знать про инъективн
856
857 Во всех задачах $R$~-- кольцо. Все модули левые; если не ука
858
859 Пусть $M$~-- модуль. {\bfseries\itshape Проективной размерно
ость $M$ равна нулю тогда и только тогда, когда $M$~-- проективный
860 \begin{enumerate}[start=0]
861 \item Пусть $M$~-- модуль. Докажите, что следующие услов
862 \begin{itemize}
863 \item $M$ проективен;
864 \item $\Ext_R^1(M,X)=0$ для любого модуля $X$;\margi
865 \item $\Ext_R^n(M,X)=0$ для любого модуля $X$ и любо
866 \end{itemize}
867 Сформулируйте и докажите аналогичный критерий инъективно
868 \item Пользуясь критерием Баера, покажите, что $M$ инъек
869 \item\label{pdidfd} Докажите, что
870 \begin{align*}
871 \pd_R(M)=\sup\{n\,|\,\exists X\text{ такой, что }\Ext_R^
872 \id_R(M)=\sup\{n\,|\,\exists X\text{ такой, что }\Ext_R^
873 \fd_R(M)=\sup\{n\,|\,\exists X\text{ такой, что }\Tor^R_
874 \end{align*}
875 \begin{proof}[Решение]\let\qed\relax
876 Понятно, что $\pd_R(M)\le\sup\{\ldots\}$ (или непоня
877 \[\Ext_R^n(M,X)\to\overset{=0}{\Ext_R^n(P,X)}\to\Ext
878 Так что $\Ext_R^{n+1}(M,X)\ne0$.\todo{потом подробне
879 \end{proof}
880 \begin{proof}[Альтернативное решение]\let\qed\relax
881 \end{proof}
882 \item\label{RIid} Докажите, что $\id_R(M)=\sup\{n\,|\,\e
883 \item\label{gldim} Докажите, что следующие числа равны:
884 \begin{itemize}
885 \item $\sup\{\pd_R(M)\,|\,M\text{~-- }R\text{-мо
886 \item $\sup\{\id_R(M)\,|\,M\text{~-- }R\text{-мо
887 \item $\sup\{n\,|\,\exists X,Y\text{ такие, что
888 \end{itemize}
889 Это число называется (левой) {\bfseries\itshape глоб
890 \item\label{tordim} Докажите, что следующие числа равны:
891 \begin{itemize}
892 \item $\sup\{\fd_R(M)\,|\,M\text{~-- левый }R\text{-
893 \item $\sup\{\fd_R(M)\,|\,M\text{~-- правый }R\text{
894 \item $\sup\{n\,|\,\exists X,Y\text{ такие, что }\To
895 \end{itemize}
896 Это число называется {\bfseries\itshape $\Tor$-размернос
897 \item*\label{tordim_fdim} Докажите, что $$\Tordim(R)=\su
898 \item\label{gldim_fdim} Докажите, что $$\gldim(R)=\sup\{
899 \begin{proof}[Решение]\let\qed\relax
900 Совсем понятно, что $\pd_R(M)\le\gldim(R)$ для конеч
901 \[\gldim(R)=\sup\{\sup\{n\,|\,\exists I\colon\Ext^n_
902 Переставим $\sup$-ы и по задаче~\ref{pdidfd} получим
903 \end{proof}
904 \item\label{Pract3Prob8} Пусть $R$~-- нётерово слева кол
905 \begin{proof}[Решение]\let\qed\relax
906 Поскольку проективные модули плоские, понятно, что $
907
908 Вспомним важное свойство нётерова кольца~-- у него в
909 \[K\hookrightarrow R^{n_k}\to\cdots\to R^{n_1}\to R^
910 Так как $K$ конечно порожден, над ним тоже можно пос
911
912 Из задач~\ref{tordim_fdim} и \ref{gldim_fdim} получа
913 \end{proof}
914 \item\label{Pract3Prob9} Пусть $0\to L\to M\to N\to 0$~-
915 \begin{proof}[Решение]\let\qed\relax
916 Запишем длинную точную последовательность для $\Ext$
917 \end{proof}
918 \end{enumerate}
919 \subsection{Фильтрованные копределы и производные функторы}
920 \begin{Def}\index{Фильтрованная категория}\label{def_filtcat
921 Малая категория $\mathcal{I}$ называется {\bfseries филь
922 \begin{enumerate}
923 \item\label{filtcat_p1} $\forall i,j\in\Ob(\mathcal{
924 \begin{align*}
925 \Hom_\mathcal{I}(i,k)\ne\varnothing\\
926 \Hom_\mathcal{I}(j,k)\ne\varnothing
927 \end{align*}
928 \item\label{filtcat_p2} $\forall i,j\in\Ob(\mathcal{
929 \end{enumerate}
930 {\bfseries Фильтрованным копределом}\index{Фильтрованный
931 \end{Def}
932 \marginpar{Лекция 4\\23 сентября}
933 Пусть $A\colon\mathcal{I}\to\mathrm{Mod\mdash}R$~-- функтор
934 Для $a\in A_i$ обозначим $[\cdot]_i\colon A_i\to\bigoplus_{i
935 \[\label{colimitinRMod}
936 \bigoplus_{\phi\colon i\to j}A_i\overset{f}{\to}\bigoplus_{i
937 \]
938 $\coker f$ и будет копределом $A$.
939
940 Рассмотрим функторы $A,B,C\colon\mathcal{I}\to\mathrm{Mod\md
941 \begin{equation}\label{elementsinfilteredcolimit_ses}
942 \begin{tikzcd}[cramped,sep=scriptsize]
943 A_i\ar{d}{A\phi}\ar[hook]{r}{\alpha_i} & B_i\ar{d}{B\phi
944 A_j\ar[hook]{r}{\alpha_j} & B_j\ar[two heads]{r}{\beta_j
945 \end{tikzcd}
946 \end{equation}
947 все квадраты коммутируют. Тогда (по построению и лемме о зме
948 \begin{equation}\label{colimitdiagram}
949 \begin{tikzcd}
950 \bigoplus\limits_{\phi\colon i\to j}A_i\ar{d}\ar[hook]{r}{\b
951 \bigoplus\limits_{i\in\Ob\mathcal{I}}A_i\ar[two heads]{d}{\p
952 \colim A\ar{r} &\colim B\ar{r} &\colim C
953 \end{tikzcd}
954 \end{equation}
955 По лемме о змее $\colim B\twoheadrightarrow\colim C$~-- эпим
956 \begin{thm}\label{filteredcolimitisexact_mainthm}
957 Если в условиях диаграммы~\ref{colimitdiagram} $\mathcal
958 \end{thm}
959 Для доказательства понадобится следующая техническая лемма.
960 \begin{lemma}\label{propertiesoffilteredcolimit}
961 Если $A\colon\mathcal{I}\to\mathrm{Mod\mdash}R$~-- функт
962 \begin{enumerate}
963 \item\label{colimelement} любой элемент из $\colim A
964 \item\label{colimkernel} $\ker(A_i\to\colim A)=\bigc
965 \end{enumerate}
966 \end{lemma}
967 \begin{proof} $ $
968 \begin{enumerate}
969 \item Пусть $x\in\colim A$, тогда (так как $\pi$ сюр
970
971 Так как $\mathcal{I}$ фильтрованная, существует $j\i
972 \begin{align*}\hspace{-8em}
973 \pi((a_i)_{i\in\Ob\mathcal{I}})=\underbrace{\pi\left
974 \end{align*}
975 \item Отображение $A_i\to\colim A$~-- это в точности
976
977 Доказываем $\subseteq$. Пусть $a\in\ker(A_i\to\colim
978 [a]_i=\sum_{k}\left([c_k]_{i_k}-[(A\phi_k)(c_k)]_{j_
979 \]
980 Из фильтрованности $\mathcal{I}$ найдется $j\in\Ob\m
981
982 Можно считать, что $i=j$, потому что
983 \[
984 [(A\phi)(a)]_j=[a]_i-([a]_i-[(A\phi)(a)]_j)=\sum_{k}
985 \]
986 Так что можно доказывать, что $[(A\phi)(a)]_j$ лежит
987
988 Для всех $\psi_k\colon j_k\to j$
989 \[
990 [c_k]_{i_k}-[(A\phi_k)(c_k)]_{j_k}=[c_k]_{i_k}-[(A\p
991 \]
992 Поэтому можно считать, что \([a]_i=\sum_{k}\left([c_
993
994 Если $i_k=i$, то $[c_k]_{i_k}-[A\phi_k(c_k)]_i=[c_k-
995 \[
996 \begin{tikzcd}[cramped]
997 i\ar[shift left=0.25em]{r}{\id}\ar[swap,shift right=
998 \end{tikzcd}
999 \]
1000 существует $\gamma\colon i\to i'$, что $\gamma=\gamm
1001
1002 \begin{multicols}{2}
1003 Теперь заметим, что если $A_i\ni b=b'+b'', b\in\
1004
1005 \columnbreak
1006 \noindent
1007
1008 \begin{tikzcd}
1009 & & & k \\
1010 & j'\ar{r}{\beta'} & j\ar{ur}{\delta} & \\
1011 i\ar{ur}{\phi}\ar[swap]{r}{\psi}\ar[shift left=0
1012 \end{tikzcd}
1013 \end{multicols}\marginpar{\vspace*{-7em}\tiny эти $i
1014
1015 Теперь предположим, что $i_l=i_t$. Если $\phi_l=\phi
1016 \[\hspace*{-5em}
1017 [(A\gamma)(a)]_j=\sum_k\left([c_k]_{i_k}-[(A\gamma\p
1018 \]
1019 %И опять можно доказывать сначала для $(A\gamma)(a)$
1020
1021 В итоге осталось
1022 \[[(A\phi)(a)]_j=\sum_k\left([c_k]_{i_k}-[(A\phi_k)(
1023 Все $i_k$ различны, $i_k\ne i$. В левой части равенс
1024 \qedhere
1025 \end{enumerate}
1026 \end{proof}
1027
1028 \begin{proof}[Доказательство теоремы~\ref{filteredcolimitise
1029 \begin{multicols}{2}
1030 Обозначим $f\colon\colim A\to\colim B$. Пусть $x\in\coli
1031 \columnbreak
1032 \vspace*{\fill}
1033 \noindent\begin{tikzcd}[cramped,sep=tiny]
1034 & \bigoplus\limits_{\phi\colon i\to j}A_i\ar{dd}\ar[near
1035 a\in A_i\ar[mapsto]{dd}\ar[mapsto]{rrr}\ar[dash,labels=d
1036 & \bigoplus\limits_{i\in\Ob\mathcal{I}}A_i\ar[near start
1037 \pi(a)\ar[mapsto]{rrr}\ar[dash,labels=description,sloped
1038 & \colim A\ar{rrr}{f} & & &\colim B
1039 \end{tikzcd}
1040 \vspace*{\fill}
1041 \end{multicols}
1042 \end{proof}
1043 \begin{corollary*}
1044 Фильтрованный копредел точный.
1045 \end{corollary*}
1046 \begin{thm}\label{derivedfunctorpreservesfcolimits}
1047 Пусть $A\colon\mathcal{I}\to\mathrm{Mod\mdash}R$~-- функ
1048 \end{thm}
1049 \begin{proof}
1050 Пусть $i\overset{\phi}{\to}j\overset{\psi}{\to}k$~-- стр
1051 \[
1052 \begin{tikzcd}[cramped]
1053 \cdots\ar{r} & P_1^i\ar{rr}\ar[swap,labels=description]{
1054 \cdots\ar{r} & P_1^j\ar{rr}\ar[swap,labels=description]{
1055 & \cdots\ar{r} & P_1^k\ar{rr} & & P_0^k\ar[two heads]{rr
1056 \end{tikzcd}
1057 \]
1058 была коммутативной\marginpar{\vspace{-5em}\tiny конструк
1059 \[P_0^i\defeq\langle A_i\rangle_R\]
1060 $\varepsilon_i$ отправляет элемент базиса, соответствующ
1061 \begin{multicols}{2}
1062 \noindent\vspace*{\fill}
1063 \[
1064 \begin{tikzcd}[cramped,sep=scriptsize]
1065 P_1^i=\langle K_0^i\rangle_R\ar[two heads]{rd}\ar{dd
1066 & K_0^i\ar[hook]{ur}\ar[dotted,near start]{dd}
1067 P_1^j=\langle K_0^j\rangle_R\ar[two heads]{rd} &
1068 & K_0^j\ar[hook]{ur} & &
1069 \end{tikzcd}
1070 \]
1071 \vspace*{\fill}
1072
1073 \columnbreak
1074 Строим $(A\phi)^0\colon P_i^0\to P_j^0$ так: $(A\phi
1075
1076 Дальше продолжаем как для построения проективной рез
1077
1078 По универсальному свойству ядра существует единствен
1079 \end{multicols}
1080 То есть $P_*$ функториален на резольвентах. Тогда $\coli
1081 \end{proof}
1082 Еще одно полезное свойство тензорного произведения.
1083 \begin{lemma}
1084 Фильтрованный копредел плоских модулей плоский.
1085 \end{lemma}
1086 \begin{proof}
1087 $X\hookrightarrow Y$~-- мономорфизм, $A\colon\mathcal{I}
1088 Тогда $X\otimes_R A_i\hookrightarrow Y\otimes_R A_i$~--
1089
1090 Так как $\colim$ точен $\colim (X\otimes_R A_i)\hookrigh
1091 \end{proof}
1092 \begin{corollary*}\label{torpreservesfilteredcolimits}
1093 $\Tor_n^R(\colim A,B)\cong\colim\Tor_n^R(A_i,B)$.
1094 \end{corollary*}
1095 \section{Функтор \texorpdfstring{$\Ext$}{Ext}}
1096 \subsection{Инъективные модули}
1097 \begin{Def}\index{Инъективный модуль}\label{def_injmodule}
1098 Модуль $M$ называется {\bfseries\itshape инъективным}, е
1099 \[
1100 \begin{tikzcd}[cramped,sep=large]
1101 & M \\
1102 X\ar{ur}{\forall f} \ar[hook]{r}{\forall i} & Y\ar[swap]
1103 \end{tikzcd}
1104 \]
1105 \end{Def}
1106 Вспомните один из критериев инъективности \hyperlink{projinj
1107
1108 Понятно, что если $\{M_i\}_{i\in I}$~-- инъективные модули,
1109 \begin{multicols}{2}
1110 \noindent\vspace*{\fill}
1111 \[
1112 \begin{tikzcd}[cramped,sep=large]
1113 M_i & \prod_{i\in I}M_i\ar{l}{\pi_i} \\
1114 X\ar{u}{\pi_if}\ar[near start]{ur}{\forall f} \ar[hook]{
1115 \end{tikzcd}
1116 \]
1117 \vspace*{\fill}
1118
1119 \columnbreak
1120 $\forall f\colon X\to\prod_{i\in I}M_i$ $\forall X\overset{i
1121 \end{multicols}
1122 \subsection{Критерий Баера}
1123 Оказывается, что для того, чтобы модуль был инъективным, дос
1124 \begin{thm}[\hypertarget{baercriterion}{Критерий Баера}]\ind
1125 $M$ инъективен тогда и только тогда, когда для любого пр
1126 \end{thm}
1127 \begin{proof} Часть $\Rightarrow$ совсем понятная~-- это про
1128
1129 Доказываем часть $\Leftarrow$. $X\overset{i}{\hookrighta
1130
1131 \begin{multicols}{2}
1132 Рассмотрим частично упорядоченное множество подмодулей $
1133
1134 \columnbreak
1135 \noindent\[ %\vspace*{\fill}\[
1136 \begin{tikzcd}[cramped]
1137 X''\ar{rrd}{f''} & & \\
1138 & X'\ar{r}{f'}\ar[hook]{ul} & M \\
1139 & X\ar[hook]{u}{i'}\ar[hook]{r}{i}\ar{ur}{f}\ar[hook]{uu
1140 \end{tikzcd}
1141 \]\vspace*{\fill}
1142 \end{multicols}
1143 \marginpar{\tiny поэтому я сомневаюсь что вообще выборы
1144
1145 От противного докажем, что $X'=Y$. Предположим, что $\ex
1146
1147 $f''$ корректно определено: по определению $J$ $X'\cap b
1148 \end{proof}
1149 \begin{Def}
1150 Абелева группа $A$ называется {\bfseries\itshape делимой
1151 \end{Def}
1152 \begin{corollary*}[из~\hyperlink{baercriterion}{критерия Бае
1153 Абелева группа $A$ инъективна тогда и только тогда, когд
1154 \end{corollary*}
1155 \begin{proof}
1156 \begin{multicols}{2}
1157 Любой идеал в $\Z$~-- это $\Z$. Отображения $\Z\hookrigh
1158
1159 \columnbreak
1160 \noindent\[
1161 \begin{tikzcd}[sep=large]
1162 & A \\
1163 \Z\ar[sloped]{ur}{1\mapsto a}\ar[hook]{r}{\cdot n} & \Z\
1164 \end{tikzcd}
1165 \]\vspace*{\fill}
1166 \end{multicols}
1167 \end{proof}
1168 \section*{Практики 4, 5 и 6: гомологические размерности, про
1169 \addcontentsline{toc}{subsection}{\bfseries Практики 4, 5 и
1170 Напомним интересный факт для коротких точных последовательно
1171 \begin{fact}[Лемма о расщеплении]\label{fact_splittinglemmaf
1172 Для короткой точной последовательности $A\overset{\iota_
1173 \begin{itemize}
1174 \item Существует отображение $\iota_B\colon B\to C$,
1175 \item Существует отображение $\pi_A\colon C\to A$, ч
1176 \item $C\cong A\oplus B$.
1177 \end{itemize}
1178 \end{fact}
1179 Во всех задачах $R$~-- кольцо. Все модули левые; если не ука
1180 \begin{enumerate}
1181 \item\label{Pract4Prob1} Кольцо $R$ называется {\bfserie
1182 \begin{proof}[Решение]\let\qed\relax
1183
1184 \end{proof}
1185 \item Докажите, что $\Tordim(R)=0$ тогда и только тогда,
1186 \begin{proof}[Решение]\let\qed\relax\leavevmode
1187 \begin{enumerate}
1188 \item[$\Rightarrow$] $\Tordim(R)=0$, значит, люб
1189 \item[$\Leftarrow$] Из задачи~\ref{Pract4Prob1}
1190
1191 По индукции $M$~-- конечно порождённый модуль, $
1192
1193 Из задачи~\ref{tordim_fdim} c прошлой практики $
1194 \end{enumerate}
1195 \end{proof}
1196 Напомним, что кольцо $R$ называется {\bfseries\itshape п
1197
1198 Понятно, что полупростые кольца регулярны по фон Нейману
1199 \item Докажите, что следующие условия эквивалентны:
1200 \begin{itemize}
1201 \item $\gldim(R)=0$;
1202 \item $\Tordim(R)=0$ и $R$ нётерово слева;
1203 \item кольцо $R$ полупросто;
1204 \item $\Tordim(R)=0$ и $R$ нётерово справа;
1205 \item $\gldim(R^{\op})=0$.
1206 \end{itemize}
1207 \begin{proof}\let\qed\relax
1208 Любой идеал $I\hookrightarrow R$ имеет левый обратны
1209
1210 Кольцо полупростое$\Rightarrow$регулярное по фон Ней
1211 \end{proof}
1212 \item Пусть имеется точная последовательность $0\to T_n\
1213 \item Пусть $R\to S$~-- гомоморфизм колец, а $X$~-- $S$-
1214 \item Пусть $x$~-- центральный элемент кольца $R$, не яв
1215 \item Пусть $x$~-- центральный элемент кольца $R$, не яв
1216 \item(Первая проективная теорема о замене кольца\index{П
1217 \item(Вторая проективная теорема о замене кольца\index{В
1218 \item Докажите, что для любого модуля $X$ выполнено $\pd
1219 \item Используя первую проективную теорему о замене коль
1220 \item Пусть $X$~-- $R[x]$-модуль. Докажите, что последов
1221 \item Докажите, что $\gldim(k[x_1,\ldots,x_n])=n$ для лю
1222 \end{enumerate}
1223 \subsection{Инъективная резольвента}\marginpar{Лекция 5\\30
1224 Из критерия Баера $\Q/\Z$~-- инъективный $\Z$-модуль. Исполь
1225
1226 Пусть $R,S$~-- кольца, $A$~-- правый $R$-модуль, $B$~-- $R$-
1227 \[
1228 \Hom_R(A,\Hom_S(B,C))\overset{\overset{\phi}{\longrightarrow
1229 \]
1230 \setlength{\columnseprule}{0.4pt}
1231 \begin{multicols}{2}
1232 Отображение $\phi$ устроено так: если \[g\colon A\to\Hom
1233 \[\Hom_S(A\otimes_RB,C)\ni\phi_g(a\otimes b)=g(a)(b)\]
1234
1235 \columnbreak
1236
1237 Отображение $\psi$ устроено так: если \[f\colon A\otimes
1238 \[\Hom_R(A,\Hom_S(B,C))\ni\psi_f(a)(b)=f(a\otimes b)\]
1239 \end{multicols}\setlength{\columnseprule}{0.0pt}
1240
1241 ``Естественность'' означает, что для морфизма левых $R$-моду
1242 \begin{equation}\label{homtpnaturaladjunction}
1243 \begin{tikzcd}
1244 \Hom_R(A',\Hom_S(B,C))\ar{rrr}{\Hom_R(\gamma,\Hom_S(B,C)
1245 \Hom_S(A'\otimes_RB,C)\ar{rrr}{\Hom_S(\gamma\otimes\id_B
1246 \end{tikzcd}
1247 \end{equation}
1248 и аналогичная для $\psi$.
1249
1250 Пусть $R$~-- кольцо; тогда на нём задается структура $\Z$-мо
1251 \[
1252 \begin{tikzcd}
1253 \Hom_\Z(\overset{\cong N}{N\otimes_RR},\Q)\ar[two heads]{rrr
1254 \Hom_R(N,\Hom_\Z(R,\Q))\ar[two heads]{rrr}{\mathclap{\substa
1255 \end{tikzcd}
1256 \]
1257 Пусть $M$~-- левый $R$-модуль, $0\ne x\in M$. Тогда существу
1258 \[
1259 \begin{tikzcd}[cramped,sep=small]\label{submoduleinjection_Q
1260 \langle x\rangle_\Z\ar{rr}{\gamma}\ar[hook]{rd} & & \Q/\Z \\
1261 & M\ar[swap]{ru}{\exists\gamma'}
1262 \end{tikzcd}
1263 \]
1264 Положим $\gamma=\begin{cases}\text{любой ненулевой элемент},
1265
1266 Выберем $f=\phi_{\gamma'}$ (образ при изоморфизме $\Hom_\Z(M
1267
1268 \begin{corollary*}
1269 Если $M$~-- $R$-модуль, то $\exists Q$~-- инъективный мо
1270 \end{corollary*}
1271 \begin{proof}
1272 Выберем $Q=\mkern-30mu\prod\limits_{f\in\Hom(M,\Hom(R,\Q
1273 \end{proof}
1274 \begin{Def}\index{Инъективная резольвента}
1275 Пусть $X$~-- $R$-модуль. Напомним, что его можно интерпр
1276 \end{Def}
1277 \begin{thm}
1278 У любого модуля существует (единственная с точностью до
1279 \end{thm}
1280 \begin{proof}
1281 Аналогично утверждению~\ref{stmt_projresexists}.
1282 \end{proof}
1283 \begin{Def}\index{Производный функтор}
1284 $F\colon\mathrm{Mod\mdash}R\to\mathrm{Mod\mdash}S$~-- ко
1285 \end{Def}
1286 Аналогично определяется $R_nF$ для контравариантного точного
1287 \[0\to F(X)\to F(Y)\to F(Z)\to R_1F(X)\to R_1F(Y)\to R_1F(Z)
1288 \subsection{\texorpdfstring{$\Ext$}{Ext}}
1289 \begin{Def}\index{$\Ext$}
1290 $\Ext_R^n(X,Y)\defeq (R_n\Hom(-,Y))(X)$.
1291 \end{Def}
1292 Аналогично $\Tor$ можно доказать, что $\Ext_R^n(X,Y)\cong(R_
1293 \begin{Def}\index{$n$-расширение}
1294 $X,Y$~-- $R$-модули. {\bfseries\itshape Длинная точная п
1295 \[
1296 0\to\underset{n}{Y_{\vphantom{n-1}}}\to\underset{n-1}{E_
1297 \]
1298 ``Множество''\marginpar{\vspace*{-2em}\tiny По-хорошему,
1299 \end{Def}
1300 \paragraph{Вопрос из зала: почему $\mathcal{E}xt$ непусто?}
1301
1302 Определим отношение между $n$-расширениями $X$ с помощью $Y$
1303 \[
1304 \begin{tikzcd}
1305 Y\ar{r}\ar[equal]{d}{\id_Y} & E_{n-1}\ar{r}\ar{d}{f_{n-1
1306 Y\ar{r} & E'_{n-1}\ar{r} & \cdots\ar{r} & E'_0\ar{r}& X
1307 \end{tikzcd}
1308 \]
1309 для $-1\le k\le n$ существует $f_k\colon E_k\to E'_k$ ($f_{-
1310
1311 Мы построим ``хорошую'' биекцию между $\begin{tikzcd}[crampe
1312 \begin{proof}[Конструкция биекции]
1313 Возьмем $0\to Y\to E_{n-1}\to\cdots\to E_0\to X\to0$~--
1314 \marginpar{\vspace*{2em}\tiny Поднимаем $\id_X$ в резоль
1315 \begin{tikzcd}[cramped,column sep=scriptsize]
1316 \cdots\ar{r} & P_{n+1}\ar[swap,bend left=38]{rd}{0}\ar{r
1317 & 0\ar{r} & Y\ar[hook]{r} & E_{n-1}\ar{r} & \cdots\ar{r}
1318 & & & & & & K_0\ar[hook]{ur} & &
1319 \end{tikzcd}
1320 \]
1321 коммутативна. $0=P_{n+1}\to P_n\to P_{n-1}\overset{f_{n-
1322
1323 Он не зависит от способа выбора $f_i$\marginpar{\tiny вс
1324
1325 Он не зависит от выбора резольвенты: все резольвенты гом
1326 %кажется, это все выборы\todo{Он не зависит от выборов}
1327
1328 Теперь пусть есть элемент $g\in\Ext^n_R(X,Y)$, то элемен
1329
1330 Строим $n$-расширение-представитель $\phi(g)$ таким обра
1331 \[\begin{tikzcd}[cramped]
1332 \cdots\ar{r}&P_n\ar{r}{d_{n-1}}\ar{d}{g}&P_{n-1}\ar{r}\a
1333 0\ar{r}&Y\ar[hook]{r}\ar[bend right=20,swap]{rr}{0}&K_{n
1334 \end{tikzcd}\]
1335 $E_k=P_k$ для $0\le k |