| @@ -50,7 +50,7 @@
pdftitle={Конспект лекций по гомологической алгебре},
pdfsubject={Гомологическая алгебра},
pdfauthor={},
+ %pdfcreator={},
pdfdirection={L2R},
pdflang={ru-RU}%,
% unicode=true
@@ -69,8 +69,12 @@
}
\mathchardef\mdash="2D
+%\tikzcdset{
+% arrow style=tikz,
+% diagrams={>={Straight Barb[scale=0.8]}}
+%}
+\DeclareMathOperator{\op}{op}
\DeclareMathOperator{\coker}{coker}
\DeclareMathOperator{\id}{id}
\DeclareMathOperator{\im}{im}
@@ -108,6 +112,7 @@
\setcounter{section}{-1}
+\theoremstyle{definition}
\newtheorem{Def}{Определение}
\newtheorem{stmt}{Утверждение}
\newtheorem{thm}{Теорема}
@@ -123,7 +128,7 @@
\pagestyle{fancyplain}
\fancyhf{}
\fancyhead[R]{\thepage}
+\fancyhead[L]{\hyperlink{toc}{\scshape\nouppercase\leftmark}}
\renewcommand{\headrulewidth}{1.2pt}
%index
@@ -159,7 +164,7 @@
{\large\texttt{Версия \gitBranch/\gitAbbrevHash}\par\textt
\end{titlepage}
\restoregeometry
+\hypertarget{toc}\tableofcontents\newpage
\section*{\marginpar{Лекция 1\\2 сентября}Введение}
\addcontentsline{toc}{section}{Введение}
\epigraph{Мы как бы не в школе, поэтому $-3$ от $6$ не отличаем.}{
@@ -236,8 +241,22 @@ Cтрелка по построению получается единствен
\begin{stmt}[которого не было на лекциях]
$H_n$~-- аддитивный функтор.
\end{stmt}
+\begin{proof} Проверим, что $H_n(f+g)=H_n(f)+H_n(g)$. Достаточно п
+ \begin{multicols}{2}
+ \noindent\vspace*{\fill}
+ \[
+ \begin{tikzcd}
+ \ker d^X_{n-1}\ar{d}{f+g}\ar[two heads]{r}{\pi_X}&H_nX\ar{
+ \ker d^Y_{n-1}\ar[two heads]{r}{\pi_Y}&H_nY
+ \end{tikzcd}
+ \]
+ \vspace*{\fill}
+ \columnbreak
+
+ Действительно, $f,g$~-- цепные отображения, так что для ни
+ \[H_nf\circ\pi_X=\pi_Y\circ f\text{ и }H_ng\circ\pi_X=\pi_
+ Складываем и получаем то, что нужно.\qedhere
+ \end{multicols}
\end{proof}
\begin{Def}\index{Квазиизоморфизм}
Морфизм $f\colon X\to Y$ комплексов называется квазиизоморфизм
@@ -306,6 +325,7 @@ Cтрелка по построению получается единствен
\end{tikzcd}
\]
\end{Def}
+\needspace{10\baselineskip}
\begin{stmt}\label{stmt_projresexists}
У любого модуля существует проективная резольвента.
\end{stmt}
@@ -509,13 +529,13 @@ Cтрелка по построению получается единствен
\vspace*{\fill}
\noindent\begin{center}
\begin{tikzcd}[cramped, sep=scriptsize]
+ \ker f\ar[hook]{d}\ar{r} & \ker g\ar[hook]{d}\ar{r} &\
+ \ar[rounded corners,%color=silver,
to path={ -- ([xshift=2ex]\tikztostart.east)
+ |- (G.center) \tikztonodes
-| ([xshift=-2ex]\tikztotarget.west)
-- (\tikztotarget)}]{dddll}[near start]{\partial}
+ A \ar{r}{\alpha}\ar[crossing over,near start]{d}{f} &
X\ar[two heads]{d}\ar[hook]{r}{i} & Y\ar{r}{\beta}\ar[
\coker f\ar{r} & \coker g\ar{r} &\coker h
\end{tikzcd}
@@ -662,28 +682,28 @@ Cтрелка по построению получается единствен
$\ker((1)\colon C_i\to\im d_{i-1})=\ker d_{i-1}$. Так как $\im d_i
+Кроме того заметим, что можно взять композицию отображения $(2)$ и
\end{fact} %\vspace*{1em}
На этой практике обсуждались плоские модули. Из задачи 0 прошлой п
+Во всех задачах $R$~-- кольцо. Все модули левые; если не указано,
\begin{enumerate}
\item\label{Pract2Prob1} Докажите, что $A=0\iff A^*=0$ (исполь
+ \begin{proof}[Решение]\let\qed\relax\leavevmode
\begin{itemize}
\item[$\Rightarrow$] Если $A=0$, то из $A$ есть единственн
\item[$\Leftarrow$] Если $x\in A$, то по определению инъек
\end{itemize}
\end{proof}
\item\label{Pract2Prob2} Докажите, что $0\to L\to M\to N\to 0$
+ \begin{proof}[Решение]\let\qed\relax
Последовательность точная, значит, $H_i=0$ во всех членах.
\end{proof}
\item\label{Pract2Prob3} Пусть $\sigma\colon A^*\otimes_RM\to\
\item\label{flfprisproj} Докажите, что любой плоский конечно п
+ \begin{proof}[Решение]\let\qed\relax
$M$~-- плоский конечно представимый. Проверим, что $\Hom(M
\[\begin{tikzcd}[cramped,sep=scriptsize]
Y^*\otimes_RM\ar[hook]{r}\ar{d}{\cong} & X^*\otimes_RM
@@ -869,7 +889,7 @@ $\Q$ над $\Z$ плоский, но не проективный.
\[\gldim(R)=\sup\{\sup\{n\,|\,\exists I\colon\Ext^n_R(R/I,
Переставим $\sup$-ы и по задаче~\ref{pdidfd} получим то, ч
\end{proof}
+ \item\label{Pract3Prob8} Пусть $R$~-- нётерово слева кольцо, а
\begin{proof}[Решение]\let\qed\relax
Поскольку проективные модули плоские, понятно, что $\fd_R(
@@ -879,7 +899,7 @@ $\Q$ над $\Z$ плоский, но не проективный.
Из задач~\ref{tordim_fdim} и \ref{gldim_fdim} получаем рав
\end{proof}
+ \item\label{Pract3Prob9} Пусть $0\to L\to M\to N\to 0$~-- коро
\begin{proof}[Решение]\let\qed\relax
Запишем длинную точную последовательность для $\Ext$ из ко
\end{proof}
@@ -1135,12 +1155,35 @@ $\forall f\colon X\to\prod_{i\in I}M_i$ $\f
\end{proof}
\section*{Практики 4, 5 и 6: гомологические размерности, продолжен
\addcontentsline{toc}{subsection}{\bfseries Практики 4, 5 и 6: гом
+Напомним интересный факт для коротких точных последовательностей в
+\begin{fact}[Лемма о расщеплении]\label{fact_splittinglemmaformodu
+ Для короткой точной последовательности $A\overset{\iota_A}{\ho
+ \begin{itemize}
+ \item Существует отображение $\iota_B\colon B\to C$, что $
+ \item Существует отображение $\pi_A\colon C\to A$, что $\p
+ \item $C\cong A\oplus B$.
+ \end{itemize}
+\end{fact}
Во всех задачах $R$~-- кольцо. Все модули левые; если не указано,
\begin{enumerate}
+ \item\label{Pract4Prob1} Кольцо $R$ называется {\bfseries\itsh
+ \begin{proof}[Решение]\let\qed\relax
+
+ \end{proof}
\item Докажите, что $\Tordim(R)=0$ тогда и только тогда, когда
+ \begin{proof}[Решение]\let\qed\relax\leavevmode
+ \begin{enumerate}
+ \item[$\Rightarrow$] $\Tordim(R)=0$, значит, любой мод
+ \item[$\Leftarrow$] Из задачи~\ref{Pract4Prob1} $\pd_R
+ По индукции $M$~-- конечно порождённый модуль, $\{x_1,
+
+ Из задачи~\ref{tordim_fdim} c прошлой практики $\Tordi
+ \end{enumerate}
+ \end{proof}
Напомним, что кольцо $R$ называется {\bfseries\itshape полупро
+
+ Понятно, что полупростые кольца регулярны по фон Нейману: из з
\item Докажите, что следующие условия эквивалентны:
\begin{itemize}
\item $\gldim(R)=0$;
@@ -1149,6 +1192,11 @@ $\forall f\colon X\to\prod_{i\in I}M_i$ $\fo
\item $\Tordim(R)=0$ и $R$ нётерово справа;
\item $\gldim(R^{\op})=0$.
\end{itemize}
+ \begin{proof}\let\qed\relax
+ Любой идеал $I\hookrightarrow R$ имеет левый обратный$\iff
+
+ Кольцо полупростое$\Rightarrow$регулярное по фон Нейману$\
+ \end{proof}
\item Пусть имеется точная последовательность $0\to T_n\to\cdo
\item Пусть $R\to S$~-- гомоморфизм колец, а $X$~-- $S$-модуль
\item Пусть $x$~-- центральный элемент кольца $R$, не являющий
@@ -1511,7 +1559,7 @@ $G$ действует на $(\Z G)^{\otimes n+1}$ по пр
\begin{Def}
Расширение $A\overset{\alpha}{\hookrightarrow}E\overset{\beta}
\end{Def}
+\begin{stmt}[Лемма о расщеплении]
Расширение расщепляется тогда и только тогда, когда оно изомор
\end{stmt}
@@ -1633,7 +1681,7 @@ A\ar[hook]{r}&E_2\ar[two heads,shift left=-0.
Группа $\frac{N}{N\cap X}$ порядка $m$, порядок группы $\f
Так как $P$ нормальна в $H$, $H$ должна сохранять $C$, поэ
Из третьей теоремы об изоморфизме есть короткая точная пос
+ \marginpar{\tiny\ldots бабка за дедку, дедка за центр, тян
\qedhere
\end{enumerate}
\end{proof}
@@ -1650,7 +1698,7 @@ Z(X)\ar[hook]{r}&X\ar{rr}\ar[two heads]{rd}&&
Как и раньше, $X\overset{\alpha}{\hookrightarrow}G\overset{\beta}{
+Как раньше определим $f(g,h)=\sigma(gh)^{-1}\sigma(g)\sigma(h)$. О
\[\bar{\gamma_y}=\psi(y)\text{~-- класс }\gamma_y\text{ в }\Out(X)
\begin{equation}\label{eqn_arbext_condition1}\gamma_y\gamma_z(x)=(
@@ -1667,6 +1715,32 @@ Z(X)\ar[hook]{r}&X\ar{rr}\ar[two heads]{rd}&
Обратное тоже верно: если для $\gamma$ и $f$ выполняются эти у
\end{thm}
+Вопрос: для каких $G,X,\psi$ можно построить функции $\gamma$ и $f
+
+Более того, мы можем добиться, чтобы для некоторого $f$ и получивш
+
+ Решили, что хотим проверить ассоциативность $\gamma$.
+ \begin{multline}\label{eqn_arbext_condition3}
+ \nu_{\gamma_zf(x,y)}\nu_{f(xy,z)}\gamma_{xyz}=\nu_{\gamma_zf(x
+ \end{multline}
+ Чтобы выполнялось~\ref{eqn_arbext_condition3}, нужно, чтобы $\
+ \begin{equation}\label{eqn_arbext_condition4}
+ f(y,z)f(x,yz)K(x,y,z)=f(xy,z)\gamma_zf(x,y)\text{ для некоторо
+ \end{equation}
+ Чтобы узнать что-то интересное про $K$, докажем несколько лемм
+ \begin{lemma}\label{lemma_Kis3cocycle}
+ $K\in Z^3(G,C_X)$.
+ \end{lemma}
+ \begin{lemma}\label{lemma_Kisinhomology}
+ Если $\gamma$ зафиксировано, то можно заменить $K$ на любо
+
+ Другими словами, если $f,f'\colon G\times G\to C_X$ удовле
+ \end{lemma}
+ \begin{proof}[Доказательство леммы~\ref{lemma_Kis3cocycle}]
+ Рассмотрим выражение $f(xyz,t)\gamma_t(f(xy,z)\gamma_zf(x,
+ \end{proof}
+ \begin{proof}[Доказательство леммы~\ref{lemma_Kisinhomology}]
+
+ \end{proof}
\printindex\thispagestyle{fancyplain}\addcontentsline{toc}{section
\end{document}
\ No newline at end of file |