| @@ -29,6 +29,9 @@
%\usepackage[left=1.75cm,right=1.25cm,top=1cm,bottom=3cm,bindingof
\usepackage[top=2.5cm, left=3.5cm, right=2cm, bottom=3.0cm,marginp
+% git integration
+\usepackage{gitinfo2}
+
%for margin notes
\reversemarginpar
@@ -43,7 +46,14 @@
colorlinks,
linkcolor={cadmiumgreen},
urlcolor={pigmentblue},
+ linktoc=all,
+ pdftitle={Конспект лекций по гомологической алгебре},
+ pdfsubject={Гомологическая алгебра},
+ pdfauthor={},
+ pdfcreator={},
+ pdfdirection={L2R},
+ pdflang={ru-RU}%,
+% unicode=true
}
% reverse column, to typeset adjoint functors or bijections like "
@@ -111,7 +121,7 @@
\fancyhf{}
\fancyhead[R]{\thepage}
\fancyhead[L]{\scshape\nouppercase\leftmark}
+\renewcommand{\headrulewidth}{1.2pt}
%index
\makeindex[title=Индекс]{}
@@ -129,9 +139,9 @@
\newgeometry{left=2cm, bottom=2.5cm, top=2.5cm, right=2cm}
\centering
$${\bigcap}\kern-0.8em\raisebox{0.3ex}{$\subset$}\kern-1.4
+ {\scshape\large Amogus\par\vspace{-0.3em} University\par}
\vspace{5cm}
+ {\Huge\scshape\bfseries\pride{Г}{о}{М}{о}{Л}{о}\pride{Г}{и
\vspace{0.5cm}
{\scshape\Large Конспект лекций\par}
\vspace{2cm}
@@ -143,7 +153,7 @@
\vfill
% Bottom of the page
+ {\large\texttt{Версия \gitBranch/\gitAbbrevHash}\par\textt
\end{titlepage}
\restoregeometry
\tableofcontents\newpage
@@ -354,7 +364,7 @@ Cтрелка по построению получается единствен
\setlength{\multicolsep}{\mcsepold}
\end{proof}
\section*{Практика 1: функтор $\Tor$}
+\addcontentsline{toc}{subsection}{\bfseries Практика 1: функтор \t
{\itshape Волчара решил, что давать на праках часть определений из
На этой практике нужно знать, что такое функтор $\Tor$ (c.~\pagere
@@ -365,7 +375,7 @@ Cтрелка по построению получается единствен
\item\label{Pract1Prob0} Пусть $M$~-- модуль. Докажите, что сл
\begin{itemize}
\item $M$ плоский;
+ \item $\Tor_1^R(X,M)=0$ для любого правого модуля $X$;
\item $\Tor_n^R(X,M)=0$ для любого правого модуля $X$ и лю
\end{itemize}
\begin{proof}[Решение]\let\qed\relax
@@ -496,8 +506,13 @@ Cтрелка по построению получается единствен
\vspace*{\fill}
\noindent\begin{center}
\begin{tikzcd}[cramped, sep=scriptsize]
+ \ker f\ar[hook]{d}\ar{r} & \ker g\ar[hook]{d}\ar{r} &\
+ \ar[rounded corners,
+ to path={ -- ([xshift=2ex]\tikztostart.east)
+ |- (X.center) \tikztonodes
+ -| ([xshift=-2ex]\tikztotarget.west)
+ -- (\tikztotarget)}]{dddll}[near start]{\partial}
+ A \ar{r}{\alpha}\ar[crossing over,near start]{d}{f} &
X\ar[two heads]{d}\ar[hook]{r}{i} & Y\ar{r}{\beta}\ar[
\coker f\ar{r} & \coker g\ar{r} &\coker h
\end{tikzcd}
@@ -644,10 +659,10 @@ Cтрелка по построению получается единствен
$\ker((1)\colon C_i\to\im d_{i-1})=\ker d_{i-1}$. Так как $\im d_i
+Кроме того заметим, что можно взять композицию отображения $(2)$ и
\end{fact} %\vspace*{1em}
+На этой практике обсуждались плоские модули. Из задачи 0 прошлой п
Во всех задачах $R$~-- кольцо. Все модули левые; если не указано,
@@ -674,7 +689,7 @@ $\ker((1)\colon C_i\to\im d_{i-1})=\ker d_{i-1}
Опять из задачи~\ref{Pract2Prob2} $\Hom_R(M,X)\twoheadrigh
\end{proof}
\end{enumerate}
+\section{Функтор \texorpdfstring{$\Tor$}{Tor}}\marginpar{Лекция 3\
\subsection{Его определение}
\begin{Def}
$F$~-- точный справа функтор. Объект $T$ называется {\bfseries
@@ -1042,7 +1057,7 @@ $\coker f$ и будет копределом $A$.
\begin{corollary*}\label{torpreservesfilteredcolimits}
$\Tor_n^R(\colim A,B)\cong\colim\Tor_n^R(A_i,B)$.
\end{corollary*}
+\section{Функтор \texorpdfstring{$\Ext$}{Ext}}
\subsection{Инъективные модули}
\begin{Def}\index{Инъективный модуль}\label{def_injmodule}
Модуль $M$ называется {\bfseries\itshape инъективным}, если
@@ -1191,7 +1206,7 @@ $\forall f\colon X\to\prod_{i\in I}M_i$ $\for
Если $M$~-- $R$-модуль, то $\exists Q$~-- инъективный модуль,
\end{corollary*}
\begin{proof}
+ Выберем $Q=\mkern-30mu\prod\limits_{f\in\Hom(M,\Hom(R,\Q/\Z))}
\end{proof}
\begin{Def}\index{Инъективная резольвента}
Пусть $X$~-- $R$-модуль. Напомним, что его можно интерпретиров
@@ -1207,7 +1222,7 @@ $\forall f\colon X\to\prod_{i\in I}M_i$ $\for
\end{Def}
Аналогично определяется $R_nF$ для контравариантного точного справ
\[0\to F(X)\to F(Y)\to F(Z)\to R_1F(X)\to R_1F(Y)\to R_1F(Z)\to R_
+\subsection{\texorpdfstring{$\Ext$}{Ext}}
\begin{Def}\index{$\Ext$}
$\Ext_R^n(X,Y)\defeq (R_n\Hom(-,Y))(X)$.
\end{Def}
@@ -1317,7 +1332,7 @@ Y\ar[hook]{r} & K_{n-1}\ar{r} & \cdots\ar{r}
\begin{corollary*}
$R_n(\Hom(-,Y))(X)\overset{\mathcal{A}b}{\cong}\Ext^n_R(X,Y)\o
\end{corollary*}
+\subsection{\texorpdfstring{$\Ext$}{Ext} и расщепимость}
\begin{Def}\index{Расщепляющееся расширение}
Расширение $Y$ с помощью $X$ (то же самое, что $1$-расширение
\[
@@ -1456,7 +1471,7 @@ $G$ действует на $(\Z G)^{\otimes n+1}$ по пр
\vspace*{1em}
\begin{center}
+ \bfseries* * *
\end{center}
\begin{thm}
$G$~-- конечная группа, $|G|=m$, тогда $m\cdot H^n(G,A)=m\cdot |