| Date: Sun, 7 Nov 2021 20:45:26 +0300
added more solutions
Diffstat:
M notes.pdf | 0
M notes.tex | 26 +++++++++++++++++
2 files changed, 19 insertions(+), 7 deletions(-) |
| @@ -426,16 +426,29 @@ Cтрелка по построению получается единствен
Из задачи~\ref{Pract1Prob1}, аддитивности $\Tor$ и устройс
\end{proof}
\item\label{Pract1Prob3} Пусть $A$~-- абелева группа. Докажите
+ \begin{proof}[Решение]\let\qed\relax\leavevmode
+ \begin{enumerate}
+ \item[$\Leftarrow$] Абелева группа~-- копредел своих к
+ \item[$\Rightarrow$] Если $A$~-- плоский модуль, то дл
+ \end{enumerate}
\end{proof}
\item Докажите, что $\Tor_1^\Z(\Q/\Z,A)\cong\{a\in A|\exists m
\begin{proof}[Решение]\let\qed\relax
+ Рассмотрим короткую точную последовательность $\Z\hookrigh
+ \[
+ \cdots\to\Tor_1^\Z(\Q,A)\to\Tor_1^\Z(\Q/\Z,A)\to\Z\otimes
+ \]
+ $\Q$ свободна от кручения, поэтому она плоская, так что $\
\end{proof}
\item Пусть $A$~-- абелева $m$-группа. Вычислите $\Tor_n^{\Z/m
\begin{proof}[Решение]\let\qed\relax
+ $m=d'd$.
+ Запишем $\Z/m\Z$-проективную резольвенту $\Z/d\Z$
+ \[\cdots\to\Z/m\Z\overset{\cdot d'}{\to}\Z/m\Z\overset{\cd
+ и применим $-\otimes_{\Z/m\Z}A$.
+ \[\cdots\overset{\cdot d}{\to}A\overset{\cdot d'}{\to}A\ov
+ $\Tor_0^{\Z/m\Z}(\Z/d\Z,A)=A/dA$. $\Tor_{2k+1}^{\Z/m\Z}(\Z
\end{proof}
\item Докажите, что $\Tor_1^R(R/I,R/J)\cong\frac{I\cap J}{IJ}$
\begin{proof}[Решение]\let\qed\relax
@@ -529,13 +542,13 @@ Cтрелка по построению получается единствен
\vspace*{\fill}
\noindent\begin{center}
\begin{tikzcd}[cramped, sep=scriptsize]
+ \ker f\ar[hook]{d}\ar{r} & \ker g\ar[hook]{d}\ar{r}\ar
\ar[rounded corners,%color=silver,
to path={ -- ([xshift=2ex]\tikztostart.east)
|- (G.center) \tikztonodes
-| ([xshift=-2ex]\tikztotarget.west)
-- (\tikztotarget)}]{dddll}[near start]{\partial}
+ A \ar{r}{\alpha}\ar[crossing over,near start]{d}{f} &
X\ar[two heads]{d}\ar[hook]{r}{i} & Y\ar{r}{\beta}\ar[
\coker f\ar{r} & \coker g\ar{r} &\coker h
\end{tikzcd}
@@ -1356,7 +1369,6 @@ Q_{-(n-1)}\ar{r}& Q_{-n}
Y\ar[hook]{r} & E'_{n-1}\ar{r} & \cdots\ar{r} & E'_0\ar[two heads]
\end{tikzcd}
\]
\begin{multicols}{2}
Сложим эти две последовательности, задав отображение в сумму из ре
@@ -1597,7 +1609,7 @@ $\beta(\sigma(gh)^{-1}\sigma(g)\sigma(h))=1_G
\end{tikzcd}
\]
и что это расширение соответствует коциклу $f_1+f_2$.
+ \item Пусть $A\overset{\alpha}{\to}E\overset{\beta}{\to}G$~--
\[0\to A\overset{\phi}{\to}F/R\overset{\psi}{\to}\Z G\overset{
точна и её класс в $\mathcal{E}xt_{\Z G}^2(\Z,A)$ соответствуе
\item Пусть имеется расширение $A\overset{\alpha}{\to}E\overse |