| @@ -62,10 +62,14 @@
\DeclareMathOperator*{\colim}{colim}
\DeclareMathOperator{\Mat}{Mat}
\DeclareMathOperator{\ord}{ord}
+\DeclareMathOperator{\Barr}{Bar}
+\DeclareMathOperator{\ab}{ab}
+\DeclareMathOperator{\Der}{Der}
+\DeclareMathOperator{\PDer}{PDer}
\newcommand\Z{\mathbb{Z}}
\newcommand\Q{\mathbb{Q}}
\newcommand\N{\mathbb{N}}
+\newcommand\defeq{\overset{\text{\normalfont def}}{=}}
\let\phi\varphi
\renewcommand{\le}{\leqslant}
@@ -131,7 +135,7 @@
\begin{Def}\index{Градуированный модуль}
Градуированный модуль~-- модуль $X$ с разложением $X=\bigoplus
+ Если $X,Y$~-- градуированные модули (с прямыми слагаемыми разл
\end{Def}
\begin{Def}\index{Дифференциал} Дифференциал на $X$~-- гомоморфизм
\begin{Def}[переопределение комплекса] Комплекс~-- градуированный
@@ -192,7 +196,7 @@ Cтрелка по построению получается единствен
\begin{Def}\index{Гомотопическая эквивалентность}
Комплексы $X,Y$ называются {\bfseries гомотопически эквивалент
\end{Def}
+\begin{stmt}\label{stmt_homequivisqis}
Гомотопическая эквивалентность~-- квазиизоморфизм.
\end{stmt}
\begin{proof}
@@ -329,7 +333,7 @@ Cтрелка по построению получается единствен
Заметим, что $\Tor_1^R(K_X,M)=0$. Кроме того, $\Tor_n^R(P,
\end{proof}
+ \item\label{Pract1Prob1} Пусть $A$~-- абелева группа. Вычислит
\begin{proof}[Решение]\let\qed\relax
$\Z\overset{\cdot m}{\hookrightarrow}\Z\twoheadrightarrow\
@@ -342,7 +346,7 @@ Cтрелка по построению получается единствен
\end{proof}
\item\label{Pract1Prob2} Пусть $A,B$~-- абелевы группы. Докажи
\begin{proof}[Решение]\let\qed\relax
+ Из задачи~\ref{Pract1Prob1}, аддитивности $\Tor$ и устройс
\end{proof}
\item\label{Pract1Prob3} Пусть $A$~-- абелева группа. Докажите
\begin{proof}[Решение]\let\qed\relax
@@ -577,7 +581,7 @@ Cтрелка по построению получается единствен
\end{proof}
\section*{Практика 2: плоские конечно представимые модули}
\addcontentsline{toc}{subsection}{\bfseriesПрактика 2: плоские кон
+Для решения задач из этой практики нужно знать, что такое инъектив
\begin{fact}[\hypertarget{projinjdef}{Другой критерий проективност
$R$-модуль $X$ проективный тогда и только тогда, когда для люб
@@ -599,15 +603,32 @@ $\ker((1)\colon C_i\to\im d_{i-1})=\ker d_{i-
Кроме того заметим, что можно взять композицию отображения $(2)$ и
\end{fact} %\vspace*{1em}
+На этой практике обсуждались плоские модули. Из задачи 0 прошлой п
+Во всех задачах $R$~-- кольцо. Все модули левые; если не указано,
\begin{enumerate}
+ \item\label{Pract2Prob1} Докажите, что $A=0\iff A^*=0$ (исполь
+ \begin{proof}\let\qed\relax$ $
+ \begin{itemize}
+ \item[$\Rightarrow$] Если $A=0$, то из $A$ есть единственн
+ \item[$\Leftarrow$] Если $x\in A$, то по определению инъек
+ \end{itemize}
+ \end{proof}
+ \item\label{Pract2Prob2} Докажите, что $0\to L\to M\to N\to 0$
+ \begin{proof}\let\qed\relax
+ Последовательность точная, значит, $H_i=0$ во всех членах.
+ \end{proof}
+ \item\label{Pract2Prob3} Пусть $\sigma\colon A^*\otimes_RM\to\
\item\label{flfprisproj} Докажите, что любой плоский конечно п
+ \begin{proof}\let\qed\relax
+ $M$~-- плоский конечно представимый. Проверим, что $\Hom(M
+ \[\begin{tikzcd}[cramped,sep=scriptsize]
+ Y^*\otimes_RM\ar[hook]{r}\ar{d}{\cong} & X^*\otimes_RM
+ \Hom_R(M,Y)^*\ar[hook]{r} & \Hom_R(M,X)^*
+ \end{tikzcd}\]
+ Опять из задачи~\ref{Pract2Prob2} $\Hom_R(M,X)\twoheadrigh
+ \end{proof}
\end{enumerate}
\section{Функтор $\Tor$}\marginpar{Лекция 3\\16 сентября}\label{to
\subsection{Его определение}
@@ -817,7 +838,7 @@ $\Q$ над $\Z$ плоский, но не проективный.
\marginpar{Лекция 4\\23 сентября}
Пусть $A\colon\mathcal{I}\to\mathrm{Mod\mdash}R$~-- функтор из мал
Для $a\in A_i$ обозначим $[\cdot]_i\colon A_i\to\bigoplus_{i\in\Ob
+\[\label{colimitinRMod}
\bigoplus_{\phi\colon i\to j}A_i\overset{f}{\to}\bigoplus_{i\in\Ob
\]
$\coker f$ и будет копределом $A$.
@@ -972,10 +993,10 @@ $\coker f$ и будет копределом $A$.
$X\hookrightarrow Y$~-- мономорфизм, $A\colon\mathcal{I}\to R\
Тогда $X\otimes_R A_i\hookrightarrow Y\otimes_R A_i$~-- мономо
+ Так как $\colim$ точен $\colim (X\otimes_R A_i)\hookrightarrow
\end{proof}
\begin{corollary*}\label{torpreservesfilteredcolimits}
+ $\Tor_n^R(\colim A,B)\cong\colim\Tor_n^R(A_i,B)$.
\end{corollary*}
\section{Функтор $\Ext$}
\subsection{Инъективные модули}
@@ -1025,7 +1046,7 @@ $\forall f\colon X\to\prod_{i\in I}M_i$ $\for
\end{tikzcd}
\]\vspace*{\fill}
\end{multicols}
+ \marginpar{\tinyпоэтому я сомневаюсь что вообще выборы будут п
От противного докажем, что $X'=Y$. Предположим, что $\exists b
@@ -1113,7 +1134,7 @@ $\forall f\colon X\to\prod_{i\in I}M_i$ $\for
\]
Пусть $M$~-- левый $R$-модуль, $0\ne x\in M$. Тогда существует $f\
\[
+\begin{tikzcd}[cramped,sep=small]\label{submoduleinjection_QZ}
\langle x\rangle_\Z\ar{rr}{\gamma}\ar[hook]{rd} & & \Q/\Z \\
& M\ar[swap]{ru}{\exists\gamma'}
\end{tikzcd}
@@ -1143,7 +1164,7 @@ $\forall f\colon X\to\prod_{i\in I}M_i$ $\for
Аналогично определяется $R_nF$ для контравариантного точного справ
\[0\to F(X)\to F(Y)\to F(Z)\to R_1F(X)\to R_1F(Y)\to R_1F(Z)\to R_
\subsection{$\Ext$}
+\begin{Def}\index{$\Ext$}
$\Ext_R^n(X,Y)\defeq (R_n\Hom(-,Y))(X)$.
\end{Def}
Аналогично $\Tor$ можно доказать, что $\Ext_R^n(X,Y)\cong(R_n\Hom(
@@ -1265,5 +1286,88 @@ Y\ar[hook]{r} & K_{n-1}\ar{r} & \cdots\ar{r}
\begin{fact}
Все расширения $X$ с помощью $Y$ расщепляются$\iff\Ext^1_R(X,Y
\end{fact}
+\section{(Ко)гомологии групп}
+\subsection{Определение и интерпретации в малых степенях}
+Везде $G$~-- группа.
+\begin{Def}\index{$G$-модуль}\index{Тривиальный $G$-модуль}
+ {\bfseries\itshape $G$-модулем} называется абелева группа, на
+
+ $\Z G$-модуль $A$ называется {\bfseries\itshape тривиальным},
+
+ Далее тривиальный $G$-модуль везде будет обозначаться $\Z$.
+\end{Def}
+\begin{Def}\index{Гомологии групп}\index{Когомологии групп}
+ $A$~-- $G$-модуль. {\bfseries\itshape$n$-е гомологии $G$ c коэ
+\end{Def}
+\begin{Def}\index{Аугментационный идеал}
+ Обозначим $\mathfrak{J}$ ядро отображения $\Z G\to\Z\colon g\m
+\end{Def}
+Первые примеры:
+\[H_0(G,A)=\Tor_0^{\Z G}(\Z,A)=\Z\otimes_{\Z G}A\]
+Так как $\Z\cong\Z G/\mathfrak{J}$, $\Z\otimes_{\Z G}A\cong\Z G/\m
+\[A/\mathfrak{J}A=\frac{A}{\langle ga-a\,|\,g\in G,a\in A\rangle}\
+\begin{Def}\index{Коинварианты $G$-модуля}
+ Модуль $A_G$ называется {\bfseries\itshape коинвариантами} $A$
+\end{Def}
+В частности (так как $\Z$~-- тривиальный модуль, так что $\mathfra
+
+Пример когомологий:
+\[H^0(G,A)=\Hom_{\Z G}(\Z,A)=\{a\in A\,|\,ga=a\forall g\in G\}\def
+так как $\Z$~-- тривиальный модуль, его порождающий может отправля
+\begin{Def}\index{Элемент нормы}
+ В конечной группе $G$ {\bfseries\itshape элементом нормы} назы
+\end{Def}
+\begin{lemma}
+ \[(\Z G)^G=\begin{cases}
+ N\Z\text{\normalfont,}&|G|<\infty\text{\normalfont;}\\
+ 0\text{\normalfont,}&|G|=\infty\text{\normalfont.}
+ \end{cases}\]
+\end{lemma}
+\begin{proof}
+ \[x=\sum a_gg\in(\Z G)^G\]
+ \[hx=\sum a_ghg=\sum a_{h^{-1}g}g=x\Rightarrow a_{h^{-1}g}=a_g
+ \[x=\sum ag=aN\qedhere\]
+\end{proof}
+\begin{corollary*}
+ \[H^0(G,\Z G)\cong\begin{cases}
+ \Z\text{\normalfont,}&|G|<\infty\text{\normalfont;}\\
+ 0\text{\normalfont,}&|G|=\infty\text{\normalfont.}
+ \end{cases}\]
+\end{corollary*}
+\subsection{Bar resolution}
+По умолчанию обозначаем $A\otimes B=A\otimes_\Z B$.
+\begin{Def}\index{Bar resolution}
+ Bar-резольвента~-- это комплекс\[
+ \cdots\to\Barr_2\to\Barr_1\to\Barr_0\overset{\pi}{\twoheadrigh
+ \]
+ где $\Barr_n\defeq (\Z G)^{\otimes n}\otimes_\Z\Z G$\marginpar
+ Элемент базиса $g_1\otimes g_2\otimes\cdots\otimes g_n\otimes
+
+ Определим дифференциал $d_n\colon\Barr_{n+1}\to\Barr_{n}$ на б
+ \[\hspace*{-4.8em}
+ d_n([g_1,g_2,\ldots,g_{n+1}])=[g_2,\ldots,g_{n+1}]+\sum_{i=1}^
+ \]
+\end{Def}
+\begin{thm}
+ $(\Barr_*,d_*)$~-- проективная резольвента $\Z$.
+\end{thm}
+\begin{proof} Модули $\Barr_n$~-- свободные $\Z G$-модули. Нужно п
+ \begin{enumerate}
+ \item $d_{n-1}d_n=0$~-- почти понятно: слагаемые в сумме о
+ \item ``Расщепим'' последовательность в каждом члене, то е
+
+ Определим $s_{-1}\colon1\mapsto[\;]$, $s_n\colon [g_1,\ldo
+ \[(s_{-1}\pi+d_0s_0)([\;]g)=[\;]-d_0([g])=[\;]-([\;]-[\;]g
+ Аналогично проверяется в общем случае.\qedhere
+ \end{enumerate}
+\end{proof}
+$\ldots$
+\begin{thm}
+ $H_1(G,\Z)=(G)_{\ab}$.
+\end{thm}
+$\ldots$
+\begin{thm}
+ $H^1(G,A)=\frac{\Der(G,A)}{\PDer(G,A)}$
+\end{thm}
\printindex\thispagestyle{fancyplain}\addcontentsline{toc}{section
\end{document}
\ No newline at end of file |